2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]之高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求函数
【
在点（0, 0）的n 阶泰勒公式。
答
案
又
将以上各项代入n 阶泰勒公式，便得
其中
2． 利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性：
【答案】（1）
因为
所以
】
而级数（2）
收敛，从而原级数在
因为
上一致收敛。 所以
而级数（3）
收敛，从而原级数在
由于当
上一致收敛。 时，
故
而级数（4）
（-10, 10）上一致收敛。
（5）
由于
故
而级数
3． 设数列
收敛，从而原级数在满足条件：
=3，
=1，
上一致收敛。
.S （x ）是幂级数
收敛，故原级数在
上一致收敛。 而级数
收敛（收敛于
）故原级数在
（1）证明：
（2）求S （x ）的表达式.
【答案】（1）由已知条件，可计算得
所以，因为S （x ）
=
因为
，所以
的收敛半径为+∞.
，所以
所以和－1，通解为
因为
解得
4． （1）对
（2）设数列（3）求
，证明不等式满足。
则由
，且
证明
收敛；
=2，
=1，所以
.
，所以
的特征方程为
，计算得特征根为1
（2）由题意知，齐次微分方程
【答案】（1）令
即
（2）已知
，则由
即
有界，又由①式与②式有
即
单调。
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