2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]之高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 用积分方法证明图中球缺的体积为
图
【答案】该立体可看作曲线此体积为
2． 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
，
和x=0所围成的图形绕Y 轴旋转所得，因
图
【答案】以侧面的椭圆长轴为x 轴，短轴为y 轴设立坐标系，则该椭圆方程为
，
取y 为积分变量，则y 的变化范围为[-0.75, 0.75]，对该区间内任一小区间[y，y+dy]，该小区间相应的水深为0.75-y ，相应面积为
，得到该小区间相应的压力
因此压力为
3． 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:
【答案】（l ）当当故点（2）
令y 〞=0, 得x=2, 当当故点（3）因此曲线在（4）令当当当
, 得
时, 时, 时,
, 因此曲线在, 因此曲线在, 因此曲线在
, 令
时,
, 因此曲线在
上是凹的;
得
。
上是凸的; 上是凹的; 上是凸的,
时, 时, 为拐点。
内是凹的, 曲线没有拐点。
, 因此曲线在, 因此曲线在
上是凸的; 上是凹的,
时, 时, 为拐点。
, 因此曲线在, 因此曲线在
, 令上是凸的; 是凹的。
得
曲线有两个拐点, 分别为（5）当
当故点（6）
时, , 因此曲线在上是凸的
为拐点。
令y”=0, 得x=1
当0 4． 利用斯托克斯公式把曲面积分如下： （1）（2 ） ，为上半球面 为立方体 的上侧，n 是的单位法向量； 的 ，从z 轴正向看去取逆时针向 ， 化为曲线积分，并计算积分值，其中A , 及n 分别 时, y”>0, 因此曲线在 故点（1, -7）为拐点。 上是凸的; 上是凹的, 表面外侧去掉xOy 面上的那个底面，n 是的单位法向量。 【答案】（1）的正向边界曲线为xOy 面上的圆周的参数方程为由斯托克斯公式 t 从0变到2π。 （2）的边界曲线为xOy 面上由直线轴正向看去取逆时针向，由斯托克斯公式 所围成的正方形的边界，从z 5． 求下列各函数的定义域： （1）
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