2017年山东科技大学数学与系统科学学院708数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设数
列成立. 证明：函数
【答案】
由
上连续，
所以对任意固定的
处间断，
处间断，
故函数
2． 设函数明：(1) 存在
【答案】(1) 令
在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0, 1) 内可微，且
使得
(2) 存在则
函数函数
在闭区间[0, 1]上连续， 在闭区间[0，1]上连续.
使得
(2)
令
显然
在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0，1) 内可微. 由于
且由(1) 的结论知，存在根据罗尔中值定理，存在由于
所以有
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为中互不相同的点列
，
在
为函
数
在
在
上的惟一间断点.
设
均
玍上一致有界，即存在正数M 使得
内的间断点集为
知
对所有的与所有
上一致收敛
，
上连续.
在
处连续，
在内的间断点集为
证
使得
由连续函数的零点存在定理知，存在即存在使得
使得使得
即
即
..
二、解答题
3． 判别下列级数的收敛性：
【答案】贝尔判别法，因为
所以(2)
当当
不存在. 时，级数对，由
级数收敛.
当
时，因为
所以根据柯西判别法知级数收敛.
4． 设果
有根，就只能有一个根. 【答案】设
使得
首先有.
事实上，由假设
其次，假定存在证明可得
再在
上对，
用罗尔中值定理，则存在
使得
这与的假定矛盾.
5． （1）设在坐标轴的原点有一质量为m 的质点，在区间匀细杆. 试求质点与细杆之间的万有引力。
（2）设有两条各长为1的均匀细杆在同一直线上，中间离开距离c ，每根细杆的质量为M ，试求它们之间的万有引力. （提示：在第（1）题的基础上再作一次积分. ）
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由柯西判别法知此级数收敛. 本题不能应用达朗
显然发散.
是非负函数，在上二阶可导，且求证：方程在内如
（不妨设使得）那么根据上述
上有一质量为M 的均
【答案】如图所示，距原点x 处，x 与之间的质量产生的引力为
故
图
（2）如图所示，在上取一微元
则
与的引力为
故与的引力为
图
6． 设f (x ) 在区间[0，1]上二阶可导且满足敛域。
【答案】由
及f (x ) 在点x=0连续、可导知
由此可知，当n
充分人时有又当n 充分大时有
即
由此可知
即级数
的收敛半径R=l，当x=±l 时
都收敛，故原级数的收敛
且
有相同的敛散性，从而
收敛. 于是
和
的收
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