2017年北京市培养单位资源与环境学院602高等数学(乙)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设光滑曲线
过原点，且当
时
对应于且
积分得
所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体体积。
，
一段曲线的弧长为
求
【答案】根据题设条件得
即
取
故
2． 把星形线
在积分方程两端对x 求导，
得
由初始条件
知
，则所求体积为曲线y=y（x ）与x 轴所围【答案】记x 轴上方部分星形线的函数为y=y（x ）成的图形绕x 轴旋转而成，故有
由于星形线的参数方程为
，所以对上述积分作换元x=acost ，便得
3
3． 判定下列级数是否收敛. 如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛
?
【答案】（1
）
且
（2）因对收敛.
（3）
敛，从而原级数绝对收敛.
因
是公比
的等比级数，故收
是发散的，
又
故由莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.
由比值审敛法知级数
收敛，故原级数绝是交错级数，
满足
（4
）敛法知级数
发散，又
是交错级数，满足
而是发散的，故由比较审
且
故由
莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.
（级数发散。 4． 当
时，
，问x 等于多少，可使得当
，要使
时，就有
。
在点（0, 0）的三阶泰勒公式。
时，，
只要
，即
，
5
）
故
即原级数的一般项
当
由
于
时不趋于零，故该
【答案】因为取
，则当
5． 求函数
【答案】
于是
又
将以上各项代入三阶泰勒公式，便得
其中
6． 下列各题中，函数f （x ）和g （x ）是否相同? 为什么
?
【答案】（l ）不同，因为定义域不同。 （2）不同，因为对应法则不同，
（3）相同，因为定义域、对应法则均相同。 （4）不同，因为定义域不同。 7． 设
存在，求下列函数的二阶导数
。
【答案】
8． 试确定常数a 和b , 使
【答案】利用泰勒公式
为当时关于x 的5阶无穷小。