2017年长安大学理学院842高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 求方程
的近似根, 使误差不超过0.01。
在[l, 3]上连续, 且,
使
, 即方程
,
在区间（1, 3）内至少有一
【答案】设函数
由零点定理知至少存在一点实根。又方程
, 即
在（l , 3）内有惟一的实根。
在（1, 3）内至多有一个实根, 因此方程现用二分法求这个根的近似值:
, 故函数f （x ）在[1, 3]上单调增加, 从而
故误差不超过0.01的根的近似值为
2． 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力。已知闸门上水的压强p 与水深h 存在函数关系, 且有P=9。8h
。若闸门高H=3m, 宽L=2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P 。
,
取
,
并记
【答案】在区间[0, 3]上插入, n-1
个分点
得到闸门所受水压力的近似值为
水压力为积分区间的分法和
为小区间的端点故
3． 判别下列方程中哪些是全微分方程? 对于全微分方程，求出它的通解。
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, 根据定积分的定义可知闸门所受的
, 由于被积函数连续, 而连续函数是可积的, 因此积分值与
的取法无关。为方便计算, 对区间[0, 3]进行n 等分, 并取
, 于是
【答案】
因
，故原方程是全微分方程。
故所求通解为
因
，故原方程是全微分方程。
故所求通解为
（3）
下面用凑微分法求通解。
方程的左端
即原方程为
，故所求通解为
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，因，故原方程是全微分方程，
（4）将原方程改写成
因
，故原方程是全微分方程。
即原方程为（5）程。
方程的左端=
即原方程为
，故所求通解为
。因
是全微分方程。
，因
程。
方程的左端=
即原方程为（8）程。
4．
求函数
在球面
上点
处，沿球面在
，故所求通解为
, 因
，故原方程不是全微分方
，故原方程是全微分方
，故原方程不
，故所求通解为
，因
，故原方程是全微分方
该点的外法线方向的方向导数。
【答案】
设
处的外法线方向向量可取为
，
则
，
于是球面在
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