2017年北京市培养单位资源与环境学院602高等数学(乙)考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求出曲线
【答案】因为量可取为即
，解得
上的点，使在该点的切线平行于平面
，设所求点对应的参数为
。已知平面的法向量为
和
，于是所求点为
。
，
。
，于是曲线在该点处的切向
，由切线与平面平行，得
或
2． 计算斯托克斯公式，计算下列曲线积分：
（1）
，其中为圆周
，若从x 轴的正
向看去，这圆周取逆时针方向；
（2）
，其中为椭圆
，若从x 轴正向看去，这椭圆是取逆时针方向；
（3）
圆周是取逆时针风向；
（4）
圆周是取逆时针方向。
【答案】（1）取为平面法向量为
（图1）
由斯托克斯公式
的上侧被所围成的部分，则的面积为πa ，的单位
2
，
，其中是圆周，若从z 轴正向看去，这
，其中是圆周，若从x 轴正向看去，这
图1 图2
（2）如图所示，
取
为平面
的上侧被
所围成的部分
，
的单位法向量
。由斯托克斯公式
现用两种方法来求解法一：由于域的面积=πa ，故
2
的面积A ，而
在xOy 面上的投影区
解法二：用曲面积分计算法。 由于在上，
，则
又
，故
将所求得的代入①式，得
（3）取为平面z=2的上侧被所围成的部分，则
的单位法向量为面上的投影区域D xy
为
，于是由斯托克斯公式
在xOy
（4）即为xOy 面上的圆周
，取为圆域
的上侧，则由斯托克斯公式
3． 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:
【答案】（1）容易求出此级数的收敛半径为1，当
时，
在上式两端对x 求导得
又原级数在
处发散，故它的和函数
（2）不难求出此级数的收敛半径为1，当
时，
有
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