2017年长安大学理学院842高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 判定下列级数的收敛性：
【答案】（1）知原级数发散。
（2）（3
）
而级
数
据比值审敛法知
（4）
敛法知原级数发散。
（5）
因
由于一般项不趋于零，故级数发散。
是收敛的（事实上
，
因
而级数
发散，故由极限形式的比较审敛法
，故由比较审敛法知原级数收敛。 收敛）而级数
发散，故由极限形式的比较审
由比值审敛法知，当a<1时，级数收敛，当a>1时级数发散。 当a=1时，原级数成为
2． 求下列数项级数的和:
【答案】（1）利用又其中故（2）因
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由p-级数的结论知，当s>1时级数收敛，当s ≤1时级数发散。
取x=1, 有
故取x=1，有
于是
3． 设周期函数f （x ）的周期为2π，证明：
（1）若（2）若【答案】（1）
在上式第二个积分中令
则
同理得
及
当
时，
及
（2）与（1）做法类似，有
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则f （x ）的傅里叶系数则f （x ）的傅里叶系数
于是有
当
4． 已知曲线L 的方程为算曲线积分
【答案】由题意，假设参数方程
5． 设有一平面薄板（不计其厚度），占有xoy 面上的闭区域D ，
薄板上分布有面密度为
的电荷，且
任取一点
， 则
在D 上连续，试用二重积分表达该薄板上的全部电荷Q.
，其面积也记为
.
. 通过求和、取极限，便
上分布的电荷
【答案】用一组曲线网将D 分成n 个小闭区域得到该板上的全部电荷为
其中
。
。当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时，求湿，从到，起点为A （0，
，则
，0），终点为B （0，
，0）计
时，
故有
6． 己知水渠的横断面为等腰梯形，斜角
【答案】由题意知
又
所
以
。
7． 设
（1）（2）（3）
不存在
均为非负数列，且，而h>o
且
周L （L=AB+BC+CD）与水深h 之间的函数关系式，并指明其定义域。
，因此湿周函数的定义域
为
得
下列陈述中哪些是对的，那些是错的? 如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。
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