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一、选择题

1．

设

是3维向量空

间的一组基, 则由

基

的过渡矩阵为（ ）

.

【答案】（A ）

2． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

【答案】B 【解析】

故

但当a=l时，

3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

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到

基

）.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

4． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

的伴随矩阵为（ ）.

则分块矩

且

所以

5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使

C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

，

二、分析计算题

6． 设A 为n 阶半正定阵，B 为n 阶正定阵，证明：

且等成立当且仅当A=0.

【答案】由假设知A+B正定阵，（A+B）-B 半正定，B 正定，由第413题有

正定，有存在可逆阵P ，使

其中

设C 的n

个特征值为

由C 半正定，因此至少有一个

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不妨设那么

C+E的n 个特征值为其中由②有

7． 设T 是数域K 上线性空间V 的线性变换. 证明：

①若

是T 的分别属于特征值

且

则

于是由（8）得

②若T 是数乘变换，则存在

使

从而V 中任何非零向量都是T 的特征向量.

反之，若V 中任何非零向量都是T 的特征向量，则在V 中任取再任取V 的一个向量x. 若若若

或

则也有

设

但属于不同特征值的特征向量线性无关，故

矛盾.

的特征向量且

故

若

是T 的特征向量，相应特征值为

则

不是T 的特征向量；

②T 是数乘变换【答案】①因为

V 中每个非零向量都是T 的特征向量.

贝U 由假设x 也是T 的特征向量，设

则由①知不是T 的特征向量. 这与任何非零向量都是T 的特征向量的假设矛

因此，T 是数乘变换.

盾，故必有即也有

8． 设f （x ）为任一多项式. 证明：

除以再求f （x ）除以【答案】①设②解法I 设令

得

所得余数为

所得的余式.

即得 但因为

故

因此，所求余式为

解法II 设

则

故由此得

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