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一、证明题

1． 设

在

上连续且满足

，证明：

【答案】显然，

有

对上式从0到1积分，得

在上式两边同乘以正数

得

最后一步的不等式是根据函数 2． 测得一物体的体积限为

求由公式

【答案】

所以d 的相对误差限为

3． 证明:

(1) 可导的偶函数，其导函数为奇函数； (2) 可导的奇函数，其导函数为偶函数； (3) 可导的周期函数，其导函数仍为周期函数. 【答案】(1) 设f (x ) 为偶函数，则对任意

有

设I

则

故

是奇函数.

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有最大值而得到的.

其绝对误差限为

又测得重量’

其绝对误差

算出的比重的相对误差限和绝对误差限.

绝对误差限为

(2) 设f (x ) 为奇函数，则对任意

有设则

故是偶函数.

(3) 设f (x ) 是以T 为周期的周期函数. 对任意

故

4． 设

也是以T 为周期的周期函数. 是凸域，

且满足

是半正定的.

为任一向量，当t 充分小时，点，

证明：f (x ) 的海色矩阵【答案】由泰勒公式得：

根据条件

故有

上式消去并令这表明矩阵

即得

是半正定的. 由于任意性，所以海森矩阵在上是半正定的.

收敛.

5． 用柯西收敛准则证明

:

【答案】当n 适当大时，对任意的自然数p ，有

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当时，为自然数，都有

由柯西收敛准则，

6． 设

收敛.

证明

所以有

是使得

同理

|的一个上界.

使得.

所以

从

在区间上有界，记

因为

即

【答案】

对

而

对

由

知：

综上所述：

7． 证明下列结论：

(1)

设(2)

设

在(3) 设f (x )

在f (x )

在

故(2) 易知

在点x=0连续，且

对上连续；

在

上连续； 在点上连续.

取

连续，

上单调，

且对

满

足

满足满足

得又

.

对

当

则

在则

则时，由

且对

【答案】(1) 由

处连续，所以在点

连续，从而

因为

在于是对

令同理由

在

(3)

由即

对

利用(1) 的结论知

在

定号，从而可知

得

对

两边取对数得

得

即

令

在

上连续. 上单调，

所以有

得因为

都成立.

由已知得

在

上连续.

在

处连续，

即在所以于是

且上连续.

对

与

同号，

从而

都存在，设

处连续，由(1) 的结论知

上连续，从而

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