2017年山东理工大学理学院608数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明：级数1]上却不一致收敛。
【答案】对任意
级数收敛，故
记
大值，所以
从而下面讨论级数
故原级数在由于
所以原级数在
数在
2． 设
上却不一致收敛. 函数在
内的带拉格朗日型余项的泰勒公式为
在
内的带佩亚诺型余项的泰勒公式为
①式减②式，得
两边同除以
得
第 2 页，共 39 页
在[0，1]上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0，
则
进而可得
时在上取得最
上一致收敛.
上绝对并一致收敛，但其各项绝对值组成的级
内具有阶连续导数，且在内的泰勒公式为
证明：【答案】f 在
两边取极限得
即
3． 设f , g 为D 上的有界函数. 证明：
(1
) (2
)
【答案】(1) 对任意的
有
于是
故
(2) 对任意的
有
于是
故
4． (1) 设
在
上可导. 若存在
上可导，设存在
使
使
)
证明:存在(2)
设
在
使得
设
证明：存在
使
【答案】(1) 方法一反证法：假设结论不真. 则对所有不妨设对一切. 当
充分大时，若有
必有
或者，都有
则有
第 3 页，共 39 页
，则
在
上严格单调递增.
令对上述不等式取极限，则得
这与条件矛盾； 同理对所有立.
方法二若下设因为
所以对任意取定的数使得从而由若或
当当在
(2)
由于对所有或者
所以
故有
在都存在；
，
或者
这与条件矛盾；
同理对所有
都有
时，亦可得出矛盾，所以假设不成立，故原结论成
第 4 页，共 39 页
都有
为有限数时，若
则存在
类似可证)
(
对
则
时，亦可得出矛盾，所以假设不成立，故原结论成
结论自然成立；
内连续，
使得
当
不恒等于使得函数存在
定理知，存在则时，
处取到最小值，则有
时
，
处取到最大值，则有
易知
由导函数的介值定理，
对所有
上严格单调递增，或
在
必有
上严格单调递减. 内可取到最大值，
设
任取一点作
上面的推理仍然正确
.
易知
在
内可取到最小值，设
在
注：第(1) 题是推广的罗尔中值定理.
下用反证法证明结论成立，假设结论不真，
令令若对一切当令
充分大时，有
则对任意
则有对所有都有
，则有均有
于是必有
上严格单调递增，
对上述不等式取极限，则得
相关内容
相关标签