2017年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 若
【答案】由
试证：
得
所以得
即
所以
即
由此得
即
2． 设随机变量
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知, （3）由（2）
知
由此得
所以
因为X 与Y 相互独立, 所
以
,
, 且X 与Y 相互独立, 令
3． 设总体X 的密度函数为：
为抽自此总体的简单随机样本.
（1）证明：【答案】（1）令
即
的分布与无关，并求出此分布.
的置信区间.
则
的分布与无关，其密度函数为
由于从而求得 4． 设
是来自正态分布
的样本, 证明,
在给定
是充分统计量. 的条件密度函数为
在
上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为
的置信区间为
（2）取c , d 使得
的密度函数为
（2）求的置信水平为
【答案】由条件,
它与
无关, 从而
是充分统计量. 的容量为
f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
5 来自正态总体．对称, 且
【答案】记正态分布的样本中位数
的样本中位数是证明
的密度函数关于
的密度函数为
其中
可得
与
分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质
这表明密度函数与E
数, 并求出c.
【答案】因为
是偶函数, 从而g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有
6． 设随机变量序列独立同分布, 且
, 且
令, 试证明:其中（3为常
所以由切比雪夫不等式得, 任对即即
7． 设
为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为
（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为
则在给出样本
后的后验分布密度函数为
其中
和
再由本节第3题知
有
其中验分布.
因此，所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先