2017年山东大学经济研究院432统计学[专业学位]之概率论与数理统计教程考研题库
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一、计算题
1． 对泊松分布P （θ），
（1）求
，使g （θ）的费希尔信息量与θ无关. （2）找一个函数g （•）【答案】⑴（2）所以，
令
（其中为任意常数）.
，（其中c 为大于0的任意常数）则
2． 在区间（0, 1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率.
【答案】这个概率可用几何方法确定，在区间（0, 1）中随机地取两个数分别记为x 和y , 则y ）（x ，的可能取值形成如下单位正方形
其区域为图中的阴影部分
.
其面积为
而事件A“两数之和小于7/5”
可表示为
图
所以由几何方法得
3． 在一时内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是0.9，0.8和0.85，求一小时内
（1）没有一台机床需要维修的概率； （2）至少有一台机床不需要维修的概率； （3）至多只有一台机床需要维修的概率.
【答案】设事件A ，B ，C 依次表示甲、乙、丙三台机床需要维修. （1）
（2）（3）
4． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率θ（即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使先知道
结果又是如何?
是来自二点分布b （1, θ）的一个样本，就是样本中购买此种商品的顾
是θ的置信水
平为0.95的置信区间? 其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事
【答案】设
客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时，
在θ未知时，有
从而
即
这说明
区间的长度不超过2d ，即得
若α=0.05，
对第二个问题，当己知时，由于
在
当d=0.01, 0.02, 0.03时可分别算得
（或已知
是增函数，所以
样本量
，处理方法完全一样））
从而
这说明
信区间. 类似地，要求该置信区间的长度不超过2d ，即得到
譬如，
若已知
（即
）则
是θ的置信水平1-α的置
于是关于样本量的要求化为
与θ完全
是θ的置信水平1-α的置信区间. 要求该置信
随d 的增加（精度减少）迅速降低.
仍取α=0.05，当d=0.01, 0.02, 0.03时分别算得
那么就应利用这个信息，减少样本量，也即减少调查费用.
未知情况相比样本量约减少25%, 由此可见，若对θ事先有若干信息可利用，得知市场占有率不会超过
5． 设二维随机变量（X , Y ）在矩形
求边长分别为X 和Y 的矩形面积Z 的密度函数.
上服从均匀分布, 试
【答案】因为（X , Y ）服从矩形G 上的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为
又因为面积Z=XY, 所以Z 可在区间（0, 2）上取值, 且Z 的密度函数可用积的公式求得
要使以上被积函数大于0
的区域必须是
, 所以当0 6． 自由度为2的分布的密度函数为 【答案】此分布的分布函数F （x ）为：当 所此分布的p 分位 数 的交集, 此交集为 。试求出其分布函数及分位数 时， 当 满足 ： 从中解 得 7． 在入户推销上有五种方法，某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验：从应聘的且无推销经验的人员中随机挑选一部分人，将他们随机地分为五个组，每一组用一种推销方法进行培训，培训相同时问后观察他们在一个月内的推销额，数据如下： 表 1 。由此 得 I 时， 假定数据满足进行方差分析的假定，对数据进行分析，在α=0.05下，这五种方法在平均月推销额上有无显著差异？ 哪种推销方法的效果最好？试对该种方法一个月的平均推销额求置信水平为0.95的置信区间. 【答案】（1）方便起见，将计算结果列入下表： 表2
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