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一、证明题

1． （格涅坚科大数定律）设

是随机变量序列, 若记

则

服从大数定律的充要条件是

【答案】先证充分性. 任对

注意到t>0时.

是增函数, 故当

因此有

所以当再证必要性. 设有

因为函数

时, 有

服从大数定律, 即

是增函数及

故则任对

服从大数定律.

存在N , 当, 得

由于的任意性, 所以

2． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.

【答案】因为

上式移项即得结论.

3． 设不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

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时, 有

时,

证明：2P （ABC ）=P（AB ）

求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它

即

将（*）式两端对求导，并注意到

有

这说明

由此可以得到则

从而，进一步，

为的UMVUE.

C-R 下界为

故此UMVUE 的方差达不到C-R

记

我们将（**）式的两端再对H 求导，得

不等式的下界.

4． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=

不相关但不独立. 【答案】因为

与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得

所以X 与

不独立.

独立，由此得

即

，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ）

6． 设总体X 的3阶矩存在, 若样本方差, 试证:

【答案】注意到

其中

, 而

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证明:X 与不相关. 为证明X

所以这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

5． 证：事件A 与B 独立的充要条件是

【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由

是取自该总体的简单随机样本,

为样本均值, 为

又

由此,

7． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

8． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则

【答案】二项分布因为而

的特征函数为, 所以当

时,

则

正是泊松分布的特征函数, 故得证.

其中

即A ，B 相容.

,

二、计算题

9． 考虑一元二次方程

【答案】按题意可知：概率为

而

含有19个样本点，所以

同理

而

含有两个样本点，所以

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其中B ，C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，

它含有36个等可能的样本点，所求的

求该方程有实根的概率P 和有重根的概率q.