2018年南京财经大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:
在区间
上服从均匀分布.
代入函数
【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当
的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数
的图形知它的最大值是
是不可能事件, 所以
是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则
当
时,
下面求Y 的分布函数
综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了
2． 设总体概率函数是对
的任一估计
令
人们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.
是其样本，，证明
:
是的充分统计量，则
. 这说明，在均方误差准则下，
注意到
，这说明
于是
因而
3． 设随机变量独立同分布，且
.
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
所以由
诸的相互独立性
得的特征函数
为
的特征函数，由唯一性定理知
4． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:
【答案】由于其中
代回原式即得证.
5． 设
【答案】若
证明
:
服从贝塔分布，并指出其参数.
则X 的密度函数为
由其反函数为
上是严格单调增函数，
的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
存在，所以级数
绝对收敛，从而有
6． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明:
【答案】
7． 设
【答案】一方面
另一方面
，证明:
8． 设
是来自
的样本，证明
为
没有无偏估计.
的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在因此，假不成立，即
9．
设
为一事件域，若
，故其对立事件
【答案】（反证法）假设
处不存在导数.
没有无偏估计.
试证: （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算
（2）构造一个事件序列
【答案】（1）因为为一事件域，所以
，其中
.