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一、计算题

1． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证:的均匀分布.

【答案】因为X 的密度函数为

又因为

的可能取值范围是（0, 1），且

是严格单调减函数， ，所以

的密度函数为

即

2． 设分布函数列设服从

【答案】对任意的对取定的N , 存在致的, 因而存在

因此有

由

的任意性知

结论得证.

使当

使有时，任对

，知

也服从区间（0, 1）上的均匀分布. 结论得证.

弱收敛于分布函数

且

对取定的h ，因为

有

关于x 是一

和

都是连续、严格单调函数，又

都服从区间（0, 1）上

其反函数为

上的均匀分布，试证:

存在充分大的M ，使有

对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有

3． 设随机变量X 服从区间（2, 5）上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率.

【答案】在一次观测中，观测值大于3的概率为

设Y 为此种观测（X>3）的次数，则

，由此得

4． 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9, 在两批种子中各任取一粒，求:

（1）两粒种子都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率.

【答案】记事件A 为“从甲中取出能发芽的种子”，B 为“从乙中取出能发芽的种子”. 则P （A ）=0.8, P （B ）=0.9.由经验知，事件A 与B 相互独立.

（1）P （两粒种子都能发芽）（2）P （至少有一粒种子能发芽）

（3）P （恰好有一粒种子能发芽）

5． 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为是相互独立的，试求（1）两周需求量的密度函数

【答案】记（1）（2）

服从伽玛分布

；

.

设各周的需求量

相互独立，

且密度函数都为

（2）三周需求量的密度函数

为第i 周的需求量，i=1, 2, 3. 根据题意知.

，所以由伽玛分布的可加性知 ，其密度函数为

, 其密度函数为

6． 将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象, 以致减少了药效, 下表列出5种常用的抗生素注入牛的体内时, 抗生素与血浆蛋白质结合的百分比,

表

1

试在显著性水平【答案】以

下检验这些百分比的均值有无显著的差异.

依次表示青霉素, 四环素, 链霉素, 红霉素, 氯霉素与血浆蛋白质结

合的百分比的均值, 本题需检验假设

不全相等

由已知得

.

的自由度分别为19, 4, 15, 从而得方差分析表如下:

表

2

因, 故在显著性水平0.05下拒绝, 认为这些百分比的均值有显

著的差异.

7． 一个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率.

【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有

设所求事件为2n 次，

此种样本点共有

当k 从0到n 累加起来就得事件

所含样本点总数

个， ，它为

个样本点. ，事件

发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，

否则不可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n -k 次，这样共游动