2017年山东大学概率论、数理统计(各约占1,2)之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 假定电话总机在某单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下：
在显著性水平0.05下能否认为该单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值. 【答案】以X 记电话总机在该单位时间内接到的呼叫次数，可认为设为
而
因而，检验的统计量为若取拒绝原假设.
由于u 在成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为 2．
则
检验的拒绝域为
由于u=—2.1落入拒绝域，故
由于n=40较大，故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是
，则要检验的假
是取自总体X 的样本，已知y=InX服从正态分布N （μ, 1）
（1）求μ的置信水平为95%的置信区间；
（2）求X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）将数据进行对数变换，得到y=InX的样本值为
它可看作是来自正态总体N （μ，1）的样本，其样本均值为
由于σ=1已知，因此，的置
（2）由于
是的严増函数，利用（1）的结果，可算得X 的数学期望的置信水平为
信水平为95%的置信区间为
95%的置信区间为
3． 某电子计算机主机有100个终端, 每个终端有80%的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相互独立的, 试求至少有15个终端空闲的概率.
【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数, 则极限定理, 所求概率为
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. 利用棣莫-拉普拉斯中心
这表明至少有15个终端空闲的概率近似为0.9155.
4． 设
与
独立同分布, 其共同分布为
试求
与
的相关系数,
其中3与13为非零常数.
【答案】先计算Y 与Z 的期望、方差与协方差
.
然后计算Y 与Z 的相关系数
.
5． 已知某种材料的抗压强度下：
（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间； （2）若已知
求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间；
s=35.2176在未知时，的置信水平为95%的置信区间为
因而的置信水平为95%的置信区间为
（2）在查表得，（3）此处，
因而
已知时，的置信水平为95%的置信区间为
，因而的置信水平为95%的置信区间为
取
，查表得
，
由此可以得到的置信水平为95%的置信区间为[24.2239，64.1378].
6． 设某商店中每月销售某商品的数量X 服从参数为7的泊松分布. 问在月初应进货多少件，才能保证当月不脱销的概率不小于0.90.
【答案】用k 表示在月初进货该商品的件数，则由题意知k 应满足如下不等式
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，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如
（3）求的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）经计算得，查表得，
的置信水平为95%的置信区间为
查泊松分布表中数值知
故应在月初至少进10件，才能保证当月不脱销的概率不小于0.90.
7． 某新产品在未来市场上的占有率X 是仅在区间（0，1）上取值的随机变量，它的密度函数为
试求平均市场占有率.
【答案】这里平均市场占有率就是E （X ）
.
8． 设试找出
【答案】
独立同分布服从
与t 分布的联系, 因而定出的密度函数.
的联合密度函数为
记
。
记
取一个n 维正交矩阵A , 其第一行为元素全为
其余元素只要满足正交性即可. 令Y=AX, 则该变换的雅可比行列式为1, 且注意到:
于是
的联合密度函数为
, 第二行为
由此,
独立同分布于
且
令
则
而
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