2017年山东师范大学概率统计(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设
为取自两点分布b （1，p ）的随机样本.
的水平
的检验.
（1）试求单边假设检验问题【答案】（1）检验的拒绝域的形式为
在n 给定后，具体的c 值可通过编程计算得到. （2）第二类错误的概率的不等式组决定：
具体的值可由编程搜索得到.
编程的想法是：让n 从1开始，对每一给定的n ，看是否存在一个（：满足上述不等式组要求（该过程可如下进行：
先找到满足MATLAB 中，获取这个c 的语句为
的c ，在
然后将此时的（n , c
）代入验算
因此，（n ，c ）可由下面
（2）若要这个检验在p=0.08时犯第二类错误的概率不超过0.10, 样本容量n 应为多大？
其中c 满足以下两式：
是否成立，成立则c 存在，否则不存在）. 若存在，则n 即为所求，若不
存在，则让n=n+l, 直至找到满足不等式组要求的c , 如此找到的n 即为满足两类错误概率要求的最小的n.
本例中，通过编程搜索可得最小的n=65（此时对应的c 也可求出，此处为c=2）, 此方案下对应的第一类和第二类错误的概率分别为：0.0276和0.0991, 注：该问题常称为抽样检验问题.
2． 甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2.两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：
（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；
（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜. 【答案】按甲、乙最终获胜的概率大小来分赌本.
（1）在这种情况下，甲、乙两人所处地位是对称的，因此甲、乙最终获胜的概率都是1/2，
所以甲得全部赌本的1/2，乙得全部赌本的1/2.
（2）最多再赌4局必分胜负，若以事件表示再赌下去的第i 局中甲赢，i=l，2，3，4，则
所以甲得全部赌本的11/16，乙得全部赌本的5/16. （3）再赌n+m-1局必分胜负，共有此n+m-1局中至多赢m —1局，这共有
种等可能的情况，而“甲最终获胜”意味着：乙在
种等可能的情况，若记
则
所以甲得全部赌本的
乙得全部赌本的
3． 测得一组弹簧形变x （单位：cm ）和相应的外力y （单位：N ）数据如下：
表
由胡克定律知
试估计k ，并在x=2.6cm处给出相应的外力y 的0.95预测区间.
【答案】已知k 的最小二乘估计为
的均值和方差分别为k
和
又
因此的预测区间为
其中
此处，由样本数据可计算得到
从而
在题中已经给
出所
以
且两者独立，从而有
从
而
其中
而x=2.6cm相应的外力的预测值为
当
时，查表知
故
因而得到的预测区间为
4． 某产品的不合格品率为0.1，每次随机抽取10件进行检验，若发现其中不合格品数多于1，就去调整设备. 若检验员每天检验4次，试问每天平均要调整几次设备.
【答案】令X 为每次检验中不合格品的个数，则X 〜b （10，0.1），而调整设备的概率为
又记Y 为每天调整设备的次数，则Y 〜b （4，0.2639），所以平均每天调整次
数为E （Y ）=4×0.2639=1.0556.
5． 为比较正常成年男女所含红血球的差异，对某地区156名成年男性进行测量，其红血球的样本均值为465.13（万/mm）, 样本方差为
2
对该地区74名成年女性进行测量，其红血球的
样本均值为422.16，样本方差为差异？（取
）.
试检验：该地区正常成年男女所含红血球的平均值是否有
和
【答案】设该地区正常成年男女所含红血球数分别记为X 和Y ，
并设
首先要检验两正态总体方差是否相等，为此先检验
为此使用F 检验，则检验的拒绝域为或
本题中，n=156, m=74，并已知
而
因此观察样本不在拒绝域，即不能否定
可用t 检验，则检验的拒绝域为：直接计算得t=5.96, 而
从而我们可在
由此可知检验统计量下的取值为
的条件下进一步检验
因此应拒绝原假设，即该地区正常成年男女所含
红血球的平均值有显著性差异，由于此问题中样本量很大，故采用渐近正态分布作检验也是合适的，结果是一致的.
6． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试在
时, 求
当
时,
所以
【答案】先求条件密度函数