2017年山东师范大学概率统计(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率.
【答案】这是一个配对问题. 以A ；记事件“第i 个战士拿到自己的枪”，i=l，2，…，n. 因为
所以由概率的加法公式
得
当n 较大时，上式右端近似于
2． 设总体密度函数为个样本，并取拒绝域为
【答案】由定义，检验的势函
数
当当
时，势函数就是检验犯第一类错误的概率，为
即
在0.5到0.75间变动.
现在测定了9炉铁水，其平均含碳量
的函数，
为
时，1减去势函数就是检验犯第二类错误的概率，它
是
为检验
试求检验的势函数以及检验犯两类错误的概率.
是检验拒绝原假设的概率，
为
现观测1
3． 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布（
）?
为4.484, 如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55
【答案】这是关于正态总体均值的双侧假设检验问题，原假设和备择假设
由于总体方差已知，故采用“检验，
检验的拒绝域为
当
由已知条件，
故
分别为
时，
查表知
这里值没有落入拒绝域，故不能拒绝原假设，因而可以认为生产的铁水平均含碳量仍为4.55.
4． 设
是来自几何分布的样本，总体分布列为
θ的先验分布是均匀分布U （0，1）. （1）求θ的后验分布；
（2）若4次观测值为4, 3, 1，6, 求θ的贝叶斯估计. 【答案】（1）样本和θ的联合密度函数为
于是
因此，θ的后验分布为
（2）当有观测值为4, 3, 1，6时，θ的后验分布为Be （5, 15）, 若采用后验期望估计，
则有
5． 掷三颗骰子，求以下事件的概率：
（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5. 【答案】这情况相当于从为所得的最大点数，则
（1）（2）
中有返回地任取三个，所有可能为重复排列数
中有返回地任取三个，所有可能为
这是分若记Y
母，而“最大点数小于等于5”，相当于从
6． 设事件A ，B 独立，两个事件仅A 发生的概率或仅B 发生的概率都是1/4，求P . （A ）及P （B ）
【答案】由题设知
又因为A ，B 独立，所以由
解得P （A ）=P（B ）=0.5.
7． 甲、乙两人独立地各进行两次射击, 假设甲的命中率为0.2, 乙的命中率为0.5, 以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数, 试求
【答案】因为当
时, 有
所以（X , Y ）的联合分布列为
表
由此得
8． 随机变量（X , Y ）服从以点（0, 1）, （1, 0）, （1, 1）为顶点的三角形区域上的均匀分布, 试求
和
【答案】记此三角形区域为D （如图阴影部分）
.
图
因为D 的面积为1/2, 所以（X , Y ）的联合密度函数为
下求X 和Y , 各自的边际密度函数. 当0 当0 即X 与Y 同分布. 因此由贝塔分布的期望、方差公式可知 由于X 与Y 不独立, 所以先计算 由此得 最后得