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一、计算题

1． 己知

【答案】由乘法公式知

所以

2． 系统由n 个部件组成. 记

为第i 个部件能持续工作的时间, 如果

独立同分布,

且

试在以下情况下求系统持续工作的平均时间:

（1）如果有一个部件停止工作, 系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作, 系统就工作. 【答案】因为

所以

的密度函数和分布函数分别为

（1）根据题意,

系统持续工作的时间为

而当t>0时

这是参数为

的指数分布, 所以

所以, 当t>0时

所以系统持续工作的平均时间为

3． 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率.

【答案】10本书任意地放在书架上所有可能的放法数为10! ，这是分母. 若把指定的四本书看作一本“厚”书，则与其他的6本书一起随意放，有7! 种可能放法，这是第一步，第二步再考虑将这指定的四本书作全排列，共有4! 种可能放法. 故总共有7!×4!种可能放法，这是分子，于是所求概率为

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所以, 当t<0时,

密度函数

（2）根据题意, 系统持续工作的时间为

4． 设随机变量X 服从区间（1，2）上的均匀分布，试求

【答案】X 的密度函数为

2）由于X 在（1，内取值，所以2）上为严格单调増函数，其反函数为函数为

的可能取值区间为1

，

且

的密度函数.

且

所以

在区间（1，

的密度

5． 在某保险种类中，一次关于2008年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升序排列）：

己知2007年的索赔数额的中位数为5063元. 是否2008年索赔的中位数比前一年有所变化？请用双边符号检验方法检验，求检验的p 值，并写出结论.

【答案】

原假设

检验的P 值为

p 值小于0.05，所以拒绝原假设. 从而认为2008年的索赔中位数与前一年相比有变化.

6． 对一批产品进行检查，如查到第a 件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前a 件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大，可认为每次查到不合格品的概率都是P. 问每批产品平均要查多少件？

【答案】设每批要查X 件，记q=l-p，则X 的分布列为

表

所以

7． 从数字0, 1, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望.

【答案】记X 与Y 分别为第1次和第2次取出的数字, 则

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备择假设

作差

得到检验统计量值为

所以

8． 测得两批电子器件的样品的电阻（单位：）为

表

设这两批器材的电阻值分别服从分布（1）试检验两个总体的方差是否相等（取（2）试检验两个总体的均值是否相等（取

）； ）.

，且两样本独立.

【答案】（1）对于检验两总体方差是否一致，应使用F 检验，此处，由样本数据计算可得到

若

取

或

则

而

，

其拒绝域为

由于F 值没有落入拒绝域内，可以认为两个总体的方差相等.

（2）因为在（1）中已经接受了两总体方差一致这一事实，从而在检验均值情况时，可以用两样本t 检验，当

时，

拒绝域为

故接受

可认为两个总体的均值相等.

这里有

二、证明题

9． 设

证明:

为独立的随机变量序列, 且

服从大数定律.

所以由

由马尔可夫大数定律知

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【答案】因为

服从大数定律.

的独立性可得