2017年北京市培养单位心理研究所803概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 总体
（1）证明
其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；
从而
于是，
这说明
是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为
因而θ的最大似然估计为
下求
的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为
故
从而
这说明
不是θ的无偏估计，而是θ的渐近无偏估计. 又
因而
是θ的相合估计.
2． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为
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为取自该总体的样本，为样本均值.
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
则
显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围
其
中明,
【答案】令
服从自由度为2的（1）, 则
为样本的次序统计量. 试证分布
的联合密度为
作变换
其雅可比（Jacobi ）行列式为
合密度我们可以知道
的联合密度为
从而
由该联
是独立同分布的随机变量, 且
这是指数分布就证明了
3． 设随机变量量.
【答案】
令
, 两边取对数, 并将
所以
而
正是
的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱
, 则由X 的特征函数
..
展开为级数形式, 可得
可
得
, 证明:当
的分布函数, 我们知道
,
时, 随机变量
按分布收敛于标准正态变
就是
也就是
. 这
收敛的方法知结论成立.
4． 设随机变量序列独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且证:
【答案】己知则
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试
对任意的
由切比雪夫不等式得
即
, 结论得证.
5． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.
因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记
为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
6． 设随机变量
【答案】因为
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中任意两个的相关系数都是p , 试证:
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