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一、计算题

1． 设A 是三阶方阵且

【答案】由又由

得

证明：

故

故得所要结论.

2． 设V 为n 维欧几里得空间为V 的正交变换, 令

显然

是V 的予空间, 证明:

与

中一个的秩是1, 另一个的秩是2. 又

因故

【答案】由

只要证明

因为

所以故因为

所以即综上所述 3． 设

（1）计算

为正定矩阵，其中其中

分别为m 阶、n 阶对称矩阵，c 为

是否为正定矩阵，并证明你的结论. 所以有

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于是

矩阵.

, 故

（2）利用（I ）的结果判断；【答案】 （1）因

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（2）矩阵

是正定矩阵.

合同于矩阵

又D 为正定矩阵，可知M 为正定矩阵，从而

令

有

即

4． 设

故

为正定矩阵.

对称. 对任意的

由（1

）的结果可知，

矩阵

为数域K 内的n 个互异数,

的一基:

到基使

（1）

而

从而由（1）

的过渡矩

证明:①以下的n 个多项式是

n 维空间②当K 为复数域且取阵.

【答案】①显然只证 令

得

同理得②由于

故

代入上式, 由于

互异, 故

为全体n 次单位根时,

求由基线性无关即可, 设有K 中数

线性无关, 为一基.

为全体n 次单位根, 故

由此得由基

到基的过渡矩阵为C （C 的第i 列元素为

）.

5

． 设以下n 阶行列式为D. 证明:若n 为奇数，则D=0.再举例指出，当n 为偶数时存在

【答案】将D 中每行都提出-1, 由于n 为奇数，故

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但是当n 为偶数，例如时有

其实对任意偶数n ，当取

6． 设A ，B 均为n 阶方阵，求证

（但）时，可知，均有

【答案】 （1）当结论成立. （2）当

时，考虑矩阵

由于A 和B 都最多只有有限个

那么由上面（1）的结论有

令

由于有无穷多个式，从而③式对一切

则由②式有

使①式成立，从而有无穷多个都成立. 特别令

这时有

7． 求齐次线性方程组

的解空间（作为

的子空间）的一组标准正交基.

将这3个向量正交化得

再单位化，即得解空间的一组标准正交基:

8． 设

（1）求A 的特征值与特征向量; （2）求

.

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时，这时由公式

可得

特征值，因为存在无穷多个使

使③式成立，但都是多项

【答案】齐次线性方程组的一个基础解系为