2018年江苏大学理学院853高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1. 设A ,B 均为n 阶方阵
,
【答案】故
2. (1)设
问:(i )(ii )(2)
为何值时,A 为可逆阵;
是n 阶可逆阵,
是A 的伴随矩阵,即
其中
表示A 的元素
【答案】 (1)
(i )当(ii )当(2) 已知 3. 若
又
即所以
正定.
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证明:
得
类似可得,
故
为何值时,A 为正交矩阵;
的代数余子式
,即A 为可逆矩阵 时,A 为正交矩阵. 即当
,试证明是可逆矩阵,
并且
时,
时,A 为正交阵. 是可逆矩阵. 关于
正定.
的证明.
,所以. 即
是正定阵,则也是正定阵,且
【答案】A 是正定矩阵的顺序主子阵,因而正定,从而
从而正定.
对式(1)两边取行列式得
由
正定,所以
半正定
.
所以
结合式(2),证完.
4. 设
计算n 阶行列式
【答案】先将D 加边成以下阶行列式
再将此行列式的第一行乘-1加至其余行;然后再将其加边成以下阶行列式
再将此阶行列式的第一列乘-1加到第
-1
列;
都加到第二列,
然后将所得行列式的第3,4,…, n+2列各乘2都加至第一列, 再将第3,4,…, n+2列依次分别乘得
最后由拉普拉斯定理得
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二、证明题
5. 设
经整理后有
线性无关,证明:
使
因
解之,得
故
秩
则有
也是个解.
的解.
线性无关.
也线性无关.
线性无关,得
【答案】设有
6. A 是一个实矩阵
,证明秩
【答案】考察下列两个齐次方程组
显然
于是
即有
的解是的解
. 反之设是
令于是
的解,即
这证明了故秩
秩
同解.
的基础解系中有同样多的解.
和n-秩
的基础解系中应各有n-秩
7. 设T 是复数域上n 维空间V
的一个线性变换
,
且T 在基
下的矩阵是
证明:
①包含的不变子空间只有V ;
②任一非零不变子空间都包含【答案】由于T 在基
下的矩阵为J , 故
①设W 是V 的任一包含再由(1)得
的不变子空间(关于T ), 则由
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③V 不能分解为两个非平凡不变子空间的直和.
得
②设W 是(关于T 的)任一非零不变子空间且
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