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2018年江苏大学理学院853高等代数考研强化五套模拟题

  摘要

一、计算题

1. 设A ,B 均为n 阶方阵

【答案】故

2. (1)设

问:(i )(ii )(2)

为何值时,A 为可逆阵;

是n 阶可逆阵,

是A 的伴随矩阵,即

其中

表示A 的元素

【答案】 (1)

(i )当(ii )当(2) 已知 3. 若

即所以

正定.

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证明:

类似可得,

为何值时,A 为正交矩阵;

的代数余子式

,即A 为可逆矩阵 时,A 为正交矩阵. 即当

,试证明是可逆矩阵,

并且

时,

时,A 为正交阵. 是可逆矩阵. 关于

正定.

的证明.

,所以. 即

是正定阵,则也是正定阵,且

【答案】A 是正定矩阵的顺序主子阵,因而正定,从而

从而正定.

对式(1)两边取行列式得

正定,所以

半正定

.

所以

结合式(2),证完.

4. 设

计算n 阶行列式

【答案】先将D 加边成以下阶行列式

再将此行列式的第一行乘-1加至其余行;然后再将其加边成以下阶行列式

再将此阶行列式的第一列乘-1加到第

-1

列;

都加到第二列,

然后将所得行列式的第3,4,…, n+2列各乘2都加至第一列, 再将第3,4,…, n+2列依次分别乘得

最后由拉普拉斯定理得

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二、证明题

5. 设

经整理后有

线性无关,证明:

使

解之,得

则有

也是个解.

的解.

线性无关.

也线性无关.

线性无关,得

【答案】设有

6. A 是一个实矩阵

,证明秩

【答案】考察下列两个齐次方程组

显然

于是

即有

的解是的解

. 反之设是

令于是

的解,即

这证明了故秩

同解.

的基础解系中有同样多的解.

和n-秩

的基础解系中应各有n-秩

7. 设T 是复数域上n 维空间V

的一个线性变换

,

且T 在基

下的矩阵是

证明:

①包含的不变子空间只有V ;

②任一非零不变子空间都包含【答案】由于T 在基

下的矩阵为J , 故

①设W 是V 的任一包含再由(1)得

的不变子空间(关于T ), 则由

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③V 不能分解为两个非平凡不变子空间的直和.

②设W 是(关于T 的)任一非零不变子空间且