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一、解答题

1． 设f 在值或最小值吗?

【答案】（1）设于是, 当x>M时, 有

于是,

对一切（2） f

在

, 但f （x ）在

2． 设

求极限

上无最小值. 而, 则对于

, 存在正数M>a, 使得当x>M时, 有

上连续, 所以f 在闭区间时有. 即f 在

上不一定有最大值和最小值. 例如

,

在

.

上有界. 在上无最大值.

上连续,

且有上也连续. 根

. 因为f 在

上连续, 且

存在. 证明:f 在

上有界. 又问f 在

上必有最大

据连续函数的有界性知, 存在正数G , 使得当

【答案】因为

且

时,

所以当

当时,

3． 判别下列广义积分的收敛性:

（1）

（2）

, 有

, 即

, 所以对N=1,

【答案】（1）方法一因为便知积分

收敛

方法二当

时

,

, 而

,

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即广义积分（2）因为

4． 设连续函数

【答案】

用反证法. 若（1）若（2）若（3）若存在令所以存在（4）若存在从而存在

5．

设函数

【答案】

因为所以

使

收敛,

从而收敛, 即得收敛.

收敛. 使

, 所以由第（1）小题知广义积分

其值域

则可分四种情况讨论. 那么那么

使

则

使

使

即

这与假设

这与①式矛盾. 也与①式矛盾.

则一定存在

①

矛盾.

类似可得矛盾.

求它在点（

a ,

b ，

c ）的梯度

.

6． 求函数它们的模.

【答案】

7． 设

【答案】因为

, 试求极限

, 所以

在点A=（0,

0, 0）及点处的梯度以及

.

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二、证明题

8． [1]设函数f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可微, 又f （x ）不是线性函数. 证明:使

[2]设f （x ）在[0, 1]上可导, 且内存在一组互不相等的数

使得

为n 个正数. 证明在区间[0, 1]

.. ,

【答案】过点（a , f （a ））与（b , f （b ））的直线方程为

9

=f=f. 由于f , g 显然, g （a ）（a ）（b ）（b ）（x ）不是线性函数, 故存在点不妨设

, 则有

由拉格朗日中值定理,

时, 有

, 使

[2]用上例的思路来证明之. 令

以及

显然可以求得一点

又可求得一点

使得

在每一个小区间即

亦即

, 使.

和, 使

, 取,

取

; .

当

于是, 总存在

当f （a ）>f（b ）时, 有

. 取

使使

.

再在. 总之, 我们有

在[0, 1]上对f （x ）应用介值定理,

上对f （x ）应用介值定理,

.

, 使得

. 如此下去, 可以求出

上, 对f （x ）应用拉格朗日中值定理, 存在