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一、计算题

1． 将

【答案】令

按

的幂展开成幂级数. , 则

因此

因为当-1

即得

2． 设周期为

a n 、b n

与函数

, 亦即x>0. 的可积函数

与

满足关系式

则给出函数

的傅里叶系数

' 的傅里叶系数a n 、之间的关系.

【答案】作变量替换x=﹣t ，有

.

3． 求不定积分

【答案】

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4． 展开函数

为正弦级数, 并指出当【答案】将f （x ）作以

时, 此级数之和. 为周期的奇延拓,

故对

5． 设f （x ）在

上连续,

求T n （x ）（即确定系数最小.

【答案】设a n , b n 为f （x ）在

上的傅里叶系数, 而

上式第一、三项为常数. 由此可见, 当且仅当

时最小, 最小值

6． 确定下列初等函数的存在域:

（1）（3）【答案】（1）

（2）（4）

的存在域为R.

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, . . 当时, 上述级数收敛于.

）, 使均方差

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（

2）由（3）故（4）故

7． 求下列极限:

（1）（2）（3）（4

）

（5）（6）【答案】 （1）（2）（3）（4）

得故的存在域为由 由

得得

的存在域为的存在域为的存在域为

的存在域为

（5）

（6）

8． 利用定积分求极限:

（1）（2）（3）（4）

;

.

第 4 页，共 27 页

【答案】（1）把极限化为某一积分的极限, 以便用定积分来计算, 为此作如下变形: