2018年中国民航大学中欧工程师学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在点
存在,
在点
在点
连续, 证明f （x , y ）在点
其中
. 于是有
连续, 所以
当
故f （x , y ）在点
可微.
可微.
【答案】因为
存在, 由一元函数的可微性知
令
时有
, 从而
. 因为fy （x , y ）在
点
, 即
二、解答题
2． 将函数
【答案】
本题亦可用待定系数法展开. 设
两边同乘以因此
, 并比较x 同次幂的系数, 可得
.
. 展开成x 的幂级数.
3． 设二元函数f 在区域D=[a, b] ×[c, d]上连续.
（1）若在int D内有（2）若在intD 内有
试问f 在D 上有何特性？
f 又怎样？
则
（3）在（1）的讨论中, 关于f 在D 上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域？ 【答案】（1）二元函数f 在D= [a, b] × [c, d]上连续, 若在int D内有这是因为对int D内任意两点
即
由
由中值定理知:存在的任意性, 知则f （x , y）=常数.
由中值定理知:存在
使得
因为
所以
由
上二元函数
在int D
内
可是f 不连续,
二元函数
在D 上连续, 且
4． 设y=y（x ）是由方程
所确定的隐函数, 试求
.
【答案】欲将y 从所给的方程中解出来是非常困难的, 甚至是不可能的, 因此, 必须引入参数形式令y=tx, 代入所给的方程可得
故
5． 周期函数的原函数是否还是周期函数？
【答案】设F （x ）是f （x ）的原函数, 且
因此, F （x ）也是周期函数.
使得
（2）若在int D内有事实上, 对int D内任意两点
的任意性, 知f （x , y ）=常数.
（3）在（1）的讨论中, 关于f 在D 上的连续性假设不能省略. 否则结论不一定成立. 例如, 在矩形区域
显然f 与x 有关, 结论不成立.
在（1）的讨论中, 长方形区域不能改为任意区域, 否则结论不一定成立. 例如设
但f （1, ﹣1）=1, f （﹣1, 1）=0, 即f 与x 又有关, 结论不成立.
, 则,
.
6． 已知平面区域
（1）（2）
【答案】（1）方法一 由于
左边=右边=
所以欲证的等式成立. 方法二 由格林公式, 有
左边=
因为D 关于直线y=x对称, 所以左边=右边. （2）方法一由（1）, 利用平均值不等式得
, L 为D 的正向边界. 试证:
右边=
方法二由（1）得
7． 已知
是
上的正的连续函数, 且
不等式得
从而
由于则即得
收敛, 所以
求证:
【答案】由