2017年辽宁师范大学计算机应用研究所603高等数学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 改换下列二次积分的积分次序:
【答案】（l ）所给二次积分等于二重积
分
。
D 可改写为
，于是
（图1）
，其
中
图1 图2
（2）所给二次积分等于二重积
分
。
又D 可表示为
，因此
（图2）
（3）所给二次积分等于二重积分其中
又D 可表示为
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，其
中
，
。
，因此 （图3）
图3 图4
（4）所给二次积分等于二重积分其中
又D 可表示为
（5）所给二次积分等于二重积
分
。
又D 可表示为
，故
（图5）
，其
中
，
。
，故
（图4）
图5 图6
（6）如图6，将积分区域D 表示为
，
于是
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，其中
2． 设f （x ）在区间[a, b]上连续，g （x ）在区间[a, b]上连续不变号，证明至少存在一点使下式成立：
【答案】不妨设
（积分第一中值定理）。
，由定积分性质可知
故有
当当
时，由上述不等式可知时，
有
，故结论成立。
，
记f （x ）在[a, b]上的最大值为M 、最小值为m ，则有
，由闭区间上连续函数性质，知存
在
，使得
3．
设
从而结论成立。
是
上从
取得最大值。
到的一段曲线，求a 的值，
使曲线积分
【答案】设与则
所围区域为D ，如图所示，在D 上应用格林公式，记
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