2018年闽南师范大学数学与统计学院913概率论与数理统计之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 一射手单发命中目标的概率为
射击进行到命中目标两次为止. 设X 为第一次命中
的联合分布和条件分布.
目标所需的射击次数，Y 为总共进行的射击次数，求数X 服从几何分布
即
其中p 为命中概率，第二次命中目标的射击次数Y 服从负二项分布
由于X 与
相互独立，所以条件分布
从而
的联合分布列为
另一条件分布
注:从以上条件分布列
第一次命中目标的射击次数X 是在前面 2． 设
【答案】注意到
故
为一个样本，
可知:在已知第二次命中目标的射击次数为y 的条件下，
次射击中等可能的.
是样本方差，试证:
即
【答案】只论命中与不命中的试验是伯努利试验. 在一伯努利试验序列中，首次命中的射击次
证明完成.
3． 有一个分组样本如下表:
表
1
试求该分组样本的样本均值、样本标准差、样本偏度和样本峰度. 【答案】计算过程列表如下表:
表
2
因而可得样本均值，样本标准差、样本偏度和样本峰度分别为
4． 某种圆盘的直径在区间（a , b ）上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积.
【答案】记X 为圆盘的直径，则圆盘的面积为
，所以平均面积为
5． 玻璃杯成箱出售, 毎箱20只, 各箱含0、1、2只残次品的概率分别为0.8、0.1、0.1. 一顾客欲购一箱玻璃杯, 在购买时, 售货员随意拿出一箱, 顾客开箱随机察看四只, 若无残次品, 则买下该箱玻璃杯, 否则退回. 试求:
（1）该顾客买下该箱杯子的槪率；
（2）在顾客买下的一箱中确实没有残次品的概率. 【答案】设事件B 为“顾客买下查看的这箱玻璃杯”, 事件品”
则
为一完备事件组.
为“箱中恰有只残次
（1）
（2）
6． 某单位有一台电话总机和200台电话分机, 在同一时刻每台分机以0.05的概率使用外, 且每台分级使用外线与否是相互独立的, 试用中心极限定理估计该单位总机需多少条外线, 才能保证每台分机以90%的概率使用外线.
【答案】设同时使用紫外线的分机数为X ,
设此单定安装的外线共有N 条, 则应用中心极限定理
又查表知
则
故至少要安装14条外线.
7． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有
【答案】因为p （x ）是一个偶函数，所以
，可得
（1）在所以
（2）
（3
）
中，令x=-t，则
，且从
即
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