2018年兰州交通大学数理学院818概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是独立同分布的正值随机变量，证明:
【答案】记又因为由此得
2． 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则
由于从而
这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到
所以
从而
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，则诸同分布，且由
，所以有
，知|
存在且相等，
为样本，
都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得
是的无偏估计，且
的均值与方差，
令
因而
故
于是
在
时,
这说明作为0的无偏估计，在
比样本均值有效. 的容量为
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
这表明密度函数同时还有
4． 设
是来自
与
的样本，的密度函数为是偶函数，从而
已知，试证明，
是
于是
所以的费希尔信息量为
，这就是说
又
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时，
样本中程
3． 来自正态总体于对称，
且
【答案】记正态分布则容量为
的样本中位数是证明的密度函数关
与
的样本中位数
与分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数，依据它们的性质
的密度函数关于对称，
，的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体
的任一无偏估计的C 一R 下界为
这就证明了
是
的有效估计，从而也是UMVUE.
5． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:
【答案】由于其中
代回原式即得证.
6． 证明公式
【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出
而对
对
其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在
7． 证明:对正态分布
时都为0, 等式得证.
存在，所以级数
绝对收敛，从而有
，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在似然估计不存在.
时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大
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