2017年南京师范大学教师教育学院878数学学科基础[专业硕士]之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】
具有二阶连续偏导数，求
。
2． 求平行于向量a=（6，7，﹣6）的单位向量.
【答案】向量a 的单位向量为
，故平行于向量a 的单位向量为
其中
3． 汽车以20m/s的速度行驶, 刹车后匀减速行驶了50m 停住, 求刹车加速度。可执行下列步骤:
（l ）求微分方程（2）求使（3）求使【答案】由
, 得
, 故
由（2）令
, 得
, 于是所求的解为, 解得
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, 满足条件
的t 值; 的k 值。
的解;
（3）根据题意,
当
。
4． 问函数
, ,
即, 解得k=4, 即得刹车加
速度为
在何处取得最大值? 并求出它的最大值。
, 比较
, 得驻点
（舍去）,
【答案】函数在[1, 4]上可导, 令
处取得最大值, 且最大值为
得函数在
5． 设有摆线
试求：
（1）L 绕x 轴旋转一周所得旋转面的面积； （2）L 上任意点处的曲率； （3）L 与x 轴所围平面图形的形心【答案】（1）由于则该旋转面的面积为
。
，
由曲率公式，L 上任意点处的曲率为
（3）由平面图形的形心公式，有
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当时对应，相应地
，则
因此
。
。
由对称性知，x=0。故求平面图形的质心为
6． 求下列各微分方程的通解：
【答案】（1）由因
（2
）由消去
有
解得
不是特征方程的根，
故可设消去解
得即
有a=1，即
故对应的齐次方程的通解为
是原方程的一个特解，
代入原方程得
故原方程的通解为
是原方程的一个特解，代入方程得
因
故对应的齐次方程的
通解为
故原方程的通解为
A=1不是特征方程的根，故设
（3
）由
=5x2-2x-1, 理，得
比较系数
得
解得
是特征方程的单根。故设
故对应的齐次方程的通解为
即
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因f （x ）
是原方程的一个特解，代入方程并整
故原方程的通解为