2017年南京信息工程大学数学与统计学院802高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】
2．
设
，而
都是可微函数，求
。
在的某邻域内具有三阶连续导数,
如果
, 不妨设时
,
时
时,
,
由于, 故
在
, 即函数
, 即函数f （x ）在
在
,
而,
试问
是否为拐点? 为什么?
【答案】已知在3>0,
当
, 从而当
凸的, 当
3． 设向量r 的模是4，它与u 轴的夹角是
【答案】已知∣r ∣=4，则
4．
设均匀柱体密度为
，占有闭区域
，求r 在u 轴上的投影.
，求它对于位于点
为曲线的拐点。
的某个邻域内连续, 因此必存内
在
单调增加。又己
知
内的图形是
内的图形是凹的,
所以点
M 0（0, 0, a ）（a>b）处的单位质量的质点的引力。
【答案】由柱体的对称性和质量分布的均匀性知F x =Fy =0，引力沿z 轴的分量
5． 设有一物体，占有空间闭区域y ，z ）处的密度为
【答案】
6． 计算下列曲线积分：
，其中L 为圆周
，其中
为曲线
，其中L 为摆线
2π的一段弧；
，其中
的一段弧；
，其中L 为上半圆周
沿逆时针方向；
，其中
沿逆时针方向。
【答案】（1）解法一：L
的方程即为
，于是
是用平面y=z截球面
是曲线
上由
；
；
，计算该物体的质量.
，在点（x ，
上对应t 从0到
到
，，
所得的截痕，从z 轴的正向看去，
，故可取L
的参数方程为
解法二：L 的极坐标方程为
，则
因此
。
（5）如图所示，添加有向线段OA ：y=0，x 从0变到2a ，则在由L 与OA 所围成的闭区域D 上应用格林公式可得
图
于是
（6）
由
的一般方
程
，可
得
，从而可令