2017年江西农业大学园林与艺术学院701数学之概率论与数理统计考研冲刺密押题
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一、证明题
1． 设总体X 的密度函数为
为容量为5的取自此总体的次序统计量, 试证
【答案】
先求
的联合密度为
下求
的联合密度, 为此, 令
其雅可比行列式的绝对值为
. 由
得
另外, 我们还可以求出边际密度,
类似可求得
显然
2． 设X 为非负随机变量，a>0.若
【答案】因为当a>0时，
存在，证明：对任意的x>0，有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
这就证明了
独立.
于是
的联合密度. 由于总体X
的分布函数为
与
相互独立.
所以
3． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件
为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.
则由
得两边取对数解得所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点
数为6的概率大于1/2.
4． 设总体X 的密度函数为：
为抽自此总体的简单随机样本.
（1）证明：【答案】（1）令
即
的分布与无关，并求出此分布.
的置信区间.
则
的分布与无关，其密度函数为
由于从而求得
在
上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为
的置信区间为
证明：2P （ABC ）=P（AB ）
（2）取c , d 使得
的密度函数为
（2）求的置信水平为
5． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.
【答案】因为
上式移项即得结论.
6． 证明:若与
【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为
, 其中. 由
且v 与W 相互独
容易算得
则当
时有
由此写出E （F ）
从而可得当r=l时, 只要
就有
在其他场合, 不存在.
当r=2时, 只要
就有
7． 设为一事件域，
若
试证： （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算【答案】（1）因为（2）构造一个事件序列
由此得（3）因为（4）因为（5）因为
所以
所以
所以
由
由
由（3）（有限交）得
得得
其中是未
为一事件域，所以
其中
故其对立事件
8． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，
（II
）设（III ）证明
设Z=X-Y。
为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。
（I ）求Z 的概率密度
的最大似然估计量；
【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且