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一、证明题

1． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:

（1）（2）（3）

【答案】（1）由（2）因为（3）

2． 设总体二阶矩存在,

是样本, 证明

则

由

因而

所以

3． 设总体X 的密度函数为：

为抽自此总体的简单随机样本.

（1）证明：【答案】（1）令

的分布与无关，并求出此分布.

的置信区间.

则

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知

又由（1）知

所以有

与的相关系数为

【答案】不妨设总体的方差为

由于,

（2）求的置信水平为

的密度函数为

即的分布与无关，其密度函数为

（2）取c , d 使得

由于从而求得

4． 设

在

上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为服从多项分布

的置信区间为

其概率函数为：

其中即

为参数，若的先验分布为Dirichlet 分布，

其中

，i=l, ……k ,

.

记

并把这一分布记作

. 证明：的后验

分布为Dirichlet 分布

【答案】因为的后验概率函数为

所以的后验分布服从Dirichlet 分布

5． 设

的样本, 证明

是来自几何分布

是充分统计量.

其分布列为

在给定T=t后, 对任意的一个样本

, 有

，其中

【答案】由几何分布性质知,

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该条件分布与无关, 因而

是充分统计量.

这个条件分布是离散均匀分布, 可用等可能模型给其一个解释:设想有n —1个“1”和t 个“0”, 把它们随机地排成一行, 并在最后位置上添上1个“1”, 譬如

这n 个“1”把此序列分成n 段, 每段中“0”

的个数依次记为且

我们指出, 此种序列共有

, 这就是在

这里诸服从几何分布,

, 而每一个出现是等可能的, 个（这是重复组合）

给定后

的条件联合分布.

即每一个出现的概率都是

这个条件分布还表明:

当已知统计量（

的值t 后, 就可按此条件分布产生一个样本

）, 它虽与原样本不尽相同, 但其分布相同. 在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分

统计量的真实含义.

6． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?

【答案】设共投掷n 次，记事件则

由

得

两边取对数解得

所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点

为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.

数为6的概率大于1/2.

7． 设为独立随机变量序列, 且

证明:

服从大数定律.

相互独立, 且

【答案】因

故可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

8． 设

【答案】若

, 证明:

服从大数定律.

服从贝塔分布, 并指出其参数.

, 则X 的密度函数为

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