2017年武汉科技大学管理学院831概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】若
, 证明:
服从贝塔分布, 并指出其参数.
, 则X 的密度函数为
由
在
上是严格单调增函数, 其反函数
为
Z 的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
2． 设
, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
令
证明:
【答案】令
, 则
再令
, 则
相互独立, 且
服从
相互独立, 服从
所以变换的雅可比行列式为:
计算该行列式, 可得
因为,
把雅可比行列式代入上式可得
由此可知
相互独立, 且
服从
3． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知p<0, 所以
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
4． 设
是来自的样本，证明
为
没有无偏估计.
【答案】（反证法）假设的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即没有无偏估计.
5． 证明下列事件的运算公式：
（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有
6． 若
【答案】由
试证
：
得
所以得
即
所以
即
由此得
即
7． 设
则
为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.
的方差一致有界, 即存在常数c 使得
【答案】因为
所以