2016年武汉大学物理科学与技术学院高等数学(理学)(同等学力加试)复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设有一半径为R 、中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数μ。在圆心处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力。
【答案】如图建立坐标系，则相应小区间[θ，θ+dθ]的弧长为直方向引力分量为0，水平方向的引力分量为
故所求引力大小为
，方向为M 指向圆弧的中心。
，根据对称性可知所求的铅
图
2． 设函数f （x ）和g （x ）可导，且
【答案】
3． 利用极坐标计算下列各题:
（1）（2）内的闭区域;
（3
）
，其中D 是由圆
周
所围成的在第一象限内的闭区域。
第 2 页，共 29 页
，试求函数的导数。
，其中D 是由圆周
，其中D 是由圆周
所围成的闭区域;
及坐标轴所围成的在第一象限
及直
线
【答案】（1）在极坐标系中，积分区域，于是
（2）在极坐标系中，积分区域，于是
（3）在极坐标系中，积分区域
，于是
4． 设
【答案】
5． 在摆线
，
上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。
，试按定义求
。
【答案】对应于摆线第一拱的参数t 的范围为[0, 2π]，参数t 在范围[0，t 0]时摆线的长度为
当t 0=2π时，长度为8a ，故所求点对应的参数t 0满足到点的坐标为
第 3 页，共 29 页
，解得，从而得
。
6． 单调函数的导函数是否必为单调函数? 研究下面这个例子:
【答案】单调函数的导函数不一定是单调函数。例如函数
,
且
在任何有限区间内只有有限个零点。因此函数f （x ）在
在
内却不是单调函数。
内为单调增加函
数。但它的导函数
,
由于
二、证明题
7． 若
，证明
，并举例说明:如果数列，所以
对
， 故
但由
例如，考虑数列
8． （1）证明：把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是上的重力加速度，R 是地球的半径：
（2）一个人造地球卫星的质量为173kg ，在高于地面630km 处进人轨道. 问把这个卫星从地面送到630 km 的高空处，克服地球引力要作多少功? 已知g=9.8m/s，地球半径R=6370 km。
2
有极限，但数列 未必有极限。，从而
有
【答案】因
为， ，但
，当n>N时，
有
。
，并不能推得
，虽然
没有极限。
，其中g 是地面
【答案】（1）质量为m 的物体与地球中心相聚2时，引力为因此有
，从而做的功为
（2）作的功为
，根据条件，
第 4 页，共 29 页
相关内容
相关标签