2016年浙江大学地球科学学院高等数学四复试复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 利用斯托克斯公式把曲面积分如下：
（1）（2
）
，为上半球面
为立方体
的上侧，n 是的单位法向量；
的
，从z 轴正向看去取逆时针向
，
化为曲线积分，并计算积分值，其中A , 及n 分别
表面外侧去掉xOy 面上的那个底面，n 是的单位法向量。
【答案】（1）的正向边界曲线为xOy 面上的圆周的参数方程为由斯托克斯公式
t 从0变到2π。
（2）的边界曲线为xOy 面上由直线轴正向看去取逆时针向，由斯托克斯公式
所围成的正方形的边界，从z
2． 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数
即二阶导数
。
【
答
案
】
（
1
）
（2）
3． 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a ，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质心.
【答案】如图所示，按题设，面密度
. 由对称性知
。
图
因此，所求质心为
。
4． 设有一圆板占有平面闭区域的温度是
【答案】解方程组
。该圆板被加热，以致在点
，求该圆板的最热点和最冷点。
求得驻点在边界
上，有
。
当比较
5． 试问a 为何值时,
函数并求此极值。
【答案】故a=2
又因此
6． 求幂级数
在其收敛域内的和函数。 ,
为极大值。
, 函数在
处取得极值, 则
=0, 即
,
处取得极值? 它是极大值还是极小值?
时，有边界上的最大值及
的值知，最热点在
，
时，有边界上的最小值
，最冷点在
。
。
【答案】先求题设幂级数的收敛域。 因为
所以收敛半径
，从而收敛域为
。
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