2017年沈阳工业大学理学院817高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求由抛物线
与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
，设过焦点的直线为y=k（x-a ），则该直线与抛物线的交点的【答案】抛物线的焦点为（a , 0）纵坐标为
，
，面积为
故面积是志的单调减少函数，因此其最小值在
2． 将下列函数展开成x 的幂级数：
【答案】（1）因
故
（2）因
而
故
而
，即弦为x=a时取到，最小值为
。
3． 求抛物面壳
【答案
】
的质量。此壳的面密度为
在
。故
xOy
。
面上的投影区
域
。因此
4． 设a>1, 最小值。
【答案】由考察函数
, 得惟一驻点
, 在a>1时的最小值。令
得惟一驻点,
, 当
,
；当
时,
, 因此
为极小值, 也是
。
在
内的驻点为x （a ）。问a 为何值时, x （a ）最小? 并求出
最小值。
5． 利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值:
【答案】（1）
上式右端为一交错级数，有
故取3项，并在计算时取五位小数，可得
（2）因故
由于
所以取3项，并在计算时取四位小数，可得
6． 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数
；
【答案】（1）应用隐函数的求导方法，得得
（2）应用隐函数的求导方法，得于是
（3）应用隐函数的求导方法，得
于是
（4）应用隐函数的求导方法，得于是
，于是
在上式两端再对x 求导，
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