2018年兰州理工大学理学院760数学分析之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1．
设列.
【答案】因为取M=l, 则
是无界的, 所以对, 使得
则,
则
因此
取N=l, 则
;
, 使得
, 使得
不是无穷大,
所以
, 使得, 使得
, 由致密性定理知,
中存在收敛子列.
,
, 对任意正整N
,
,
使得
, 使得
是一个无界数列, 但非无穷大量. 证明:存在两个子列, 一个是无穷大量, 另一个是收敛子
为无穷大量.
因数列
, 使得.
,
则则
于是得一有界子列
2． 按定义证明下列极限:
（1）（4）
（2）（5）
由
（3）
【答案】（1）对任意给定的
得
. 取
则当
时, 有
故
（2）限制
则
于是, 对任意给定的故
只要取
* 则当
时, 有
（3）对任意给定的由
得
它成立的一个充分条件是取则当时有
故（4）若限制
则
时, 有
对任给的故（5
）
, 取
于是
则当
对任给的
取
则当
时
. 就有
故
3． 设二元函数
证明:对任意
【答案】应用微分中值定理, 有
其中介于x 1与x 2之间,
介于
4． 证明:若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则
【答案】设n 和l 的方向余弦分别是由第一、二型曲面积分之间的关系可得
在区域
成立
.
上可微,
且对
, 有
与之间
.
其中n 为曲面S 的外法线方向. 和
, 则
由l 方向固定,
都是常数, 故
, 由高斯公式得
二、解答题
5． 确定下列函数的单调区间:
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）（x ）递减.
（2）f （x ）的定义域为因此在
（3）f
（x
）的定义域为
在
和上,
（4）f （x ）的定义域为
上均为单调递增.
时为同阶无穷小量
: （2） （4
）
时,
因而
当
故当（2）
当
时
；
.
. 故在
上,
, 导函数为:
递减; 在
.
,
, f （x ）递减.
, 故
在定义域上恒正, f （x ）在
.f （x ）递増 , 故在[0, 1]上
,
递增;
. , f （x ）递增在
上,
f
6． 确定的值
,
使下列函数与当
（1）（3）【答案】⑴当
时,
时. 当时为同阶无穷小量.