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一、证明题

1． 设A 、B 皆为非空有界数集, 定义数集

【答案】对任意的于是

对于任意正数, 存在于是, 即 2． 设

证明:【答案】因为又因为对上述任给的

从而对任给的从而对上述只需取

存在

当

存在

使当

时, 就有

时, 有

使当

. 时, 有

且在

附近有

并且

存在. 因此

使得

故

使得

是A+B的一个上界.

则设

证明:

故

3． 证明:设

在

内收敛, 若

也收敛, 则

（注意:这里不管在x=R是否收敛）, 应用这个结果证明:

【答案】因在内收敛, 所以有

又x=R时, 级数收敛, 从而由定理知

的和函数在x=R处左连续, 从而

又因为

在

内收敛

, 且级数

收敛, 所以

4． 设

【答案】

, 证明

二、解答题

5．

【答案】原式=

6

． 已知直线运动方程为

动的平均速度及t=4时的瞬时速度.

【答案】

令

, 可求得平均速度分别为

.

即t=4时的瞬时速度为v=50.

7． 计算三重积分与累次积分

（1）（2）

其中

V 由

和

所确定;

分别令=1, 0.1, 0.01, 求从t=4至这一段时间内运

【答案】（1）由于被积函数为, 因此可以把三重积分化为“先二重后一重”的累次积分, 又由区域V 用平行于 xy 平面的平面截得的是一个圆面, 即

从而

（2）应用柱坐标变换

8． 计算积分

【答案】积分区域D 是由

及y=2所围成（如图所示）:

图

交换累次积分的顺序, 有

9． 设

, 其中y=f（x ）为由方程

, 得

所确定的隐函数, 求

及

【答案】由方程因

故

10．求

【答案】由

在区域D

上的最大值和最小值.

=0.再考虑边界, 且f （0, 0）得稳定点为（0, 0）