2017年河北科技大学概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设
是来自
的样本,
试求常数c 使得
的自由度.
【答案】由条件:立, 因而
, 故
这说明当
时,
，其中
的置信区间.
，现从此批产品中抽取容量为
求平均寿命
的置信水平为0.9的置信区间和单侧置信上、下限.
，根据伽玛分布的性质，
从而
.
因此可得的置信水平为
的置信区间为
查表可得，
.
【答案】由指数分布和伽玛分布的关系知
, 自由度为为未知参数，
为抽自此总体的简单随
且
相互独
服从t 分布, 并指出分布
2． [1]设总体X 的密度函数为机样本，求的置信水平为
[2]设某电子产品的寿命服从指数分布，其密度函数为9的样本，测得寿命为（单位：kh ）
[2]这是题[1]的一个具体应用. 计算得
根据上题结论可知，的置信水平为0.9的置信区间为[0.0088, 0.0272], 单侧置信上限为0.0245, 单侧置信下限为0.0102. 所以，平均寿命1A 的置信水平为0.9的置信区间[36.76，113.64], 单侧置信上限为98.04，单侧置信下限为40.82.
3． 每次射击命中率为0.2，试求：射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
【答案】设共射击n 次，记事件为“第i 次射击命中目标”，i=l，2，…，n ，则由题设条件知
由此得
4． 设
两边取对数解得相互独立，且
所以取n=11可满足题设条件. 试求中
（1）至少出现一个的概率； （2）恰好出现一个的概率； （3）最多出现一个的概率. 【答案】⑴（2）
（3）P （最多出现一个）=P（恰好出现一个）+P（都不出现）=2/9+1—26/27=7/27.
5． 从一批服从指数分布的产品中抽取10个进行寿命试验，观测值如下（单位：h ）:
根据这批数据能否认为其平均寿命不低于1100h （取）？
【答案】
指数分布题，待检验的假设为
由样本数据可算得若取
则查表知
故检验统计量为
由于拒绝域为
故接受原假
中是总体均值，所以这是一个关于指数分布参数的假设检验问
设，可以认为平均寿命不低于ll00h.
6． 设有两工厂生产的同一种产品，要检验假设产品各抽取绝
个及
它们的废品率相同，在第一、二工厂的
个，分别有废品300个及320个，问在5%水平上应接收还是拒
【答案】这里样本量很大，可采用大样本近似，以A 分别表示两个工厂的废品率，则在下，总废品率为
检验统计量为
此
，故检验拒绝域为在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0，1）处.
故
由于
故不能拒绝原假设，此处经计算，检验的p 值近似为0.1040.
7． 若随机变量
【答案】方程由此得知
8． 设
而方程无实根的概率为0.5，试求
无实根等价于16-4K<0，所以由题意知
试求1-X 的分布.
【答案】X 的密度函数为
因为
在（0，1）上为严格单调减函数，其反函数为
：
所以Y=1-X的密度函数为
这表明：当
时，1-X 与X 同分布.
且有
二、证明题
9． 设随机变量序列数, 并求出c.
【答案】因为
, 且
所以由切比雪夫不等式得, 任对即即
10．设
为自由度为n 的t 变量, 试证:
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
, 再按依概率收敛性知
这就证明了
独立同分布, 且令, 试证明:其中（3为常
有
再由本节第3题知
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
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