2017年河海大学735概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 假设人体身高服从正态分布，今抽测甲、乙两地区18岁〜25岁女青年身高得数据如下：甲地区抽取10名，样本均值1.64m ，样本标准差0.2m ; 乙地区抽取10名，样本均值1.62m , 样本标准差0.4m. 求：
（1）两正态总体方差比的置信水平为95%的置信区间； （2）两正态总体均值差的置信水平为95%的置信区间. 【答案】设设条件
，
（1）
的
的置信区间为
由此，
为甲地区抽取的女青年身高，
此处
，
为乙地区抽取的女青年身高，由题
m=n=10, 查表得信区间为
的置信水平为95%的置
（2）由（1）方差相等，此时，
查表得
故两正态总体均值差的置信水平为95%的置信区间为
还有另一种解法就是不对方差相等作假定，而采用近似方法求均值差的置信区间，由于
从而两正态总体均值差的置信水平为95%的近似置信区间为
这二个置信区间相差不算太小，所以在应用中条件“方差相等”是否成立是要加以考证的. 查表知
2． 在一个单因子试验中，因子A 有三个水平，每个水平下各重复4次，具体数据如下：
表
的置信水平为95%的置信区间包含1, 因此有一定理由假定两个正态总体的
试计算误差平方和因子A 的平方和与总平方和并指出它们各自的自由度.
【答案】此处因子水平数r=3，每个水平下的重复次数m=4，总试验次数为n=mr=12.首先，算出每个水平下的数据和以及总数据和：
误差平方和
由三个平方和组成：
于是
而
3．
设
是来自
的样本, 试给出一个充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
令
,
取
, 由因子分解定理
,
的几何平均
为
或其对数
的充分统计量. 另
都是的充
外, T 的一一变换得到的统计量, 如
分统计量.
4． 甲掷硬币n+1次，乙掷n 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.
【答案】记
又记
由于正反面的地位是对称的，因此P （E ）=P（F ）. 又因为
所以由
得P （E ）=0.5.
此题的求解过程中利用了出现正反面的对称性. 在古典方法确定概率的过程中，对称性的应用是很常用的. 事实上，确定概率的古典方法中所谓“等可能性”，就是要使样本点处于“对称”的地位. 利用对称性的优点是可以简化运算、避开一些繁琐的排列组合的计算. 此题若直接用排列组合来计算，则相当繁琐，具体过程见下：
因为甲掷n+1
次硬币共有
种可能，乙掷n 次硬币共有种可能，
因而样本点的总数为
则所求概率
又记乙掷出k 个正面，甲掷出k+1个正面，
P （甲掷出的正面数>乙掷出的正面数）
注意：如果将甲掷n+1次改成掷n+2次，乙仍掷n 次，则“甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多”的概率可见下题.
5． 保险公司的某险种规定：如果某个事件A 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额a 元，而事件A 在一年内发生的概率为p. 如果保险公司向投保户收取的保费为ka ，则问k 为多少，才能使保险公司期望收益达到a 的10%?
【答案】记X 为保险公司的收益，则X 的分布列为
表
1
所以保险公司的期望收益
为
中解得
所以取
即可满足要求.
表
2
由此可见，若特定事件A 发生的概率超过0.4时，再参加此种保险己无多大实际意义了.
由
即
从
注意：这里k 是p 的严格増函数，具体有