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一、计算题

1． 从指数总体

抽取了40个样品, 试求

的均值为

的渐近分布. 方差为

于是

的渐近分布为

【答案】由于指数总体

2． 某人声称他能根据股票价格的历史图表预报未来股市的涨跌，若在一场测试中，他共作了10次预测，报对8次.

（1）在显著性水平0.05下，能否相信他具有这种能力？ （2）对什么样的显著性水平，可相信他具有这种能力？

【答案】我们先对问题作一简单分析：若该人有预测能力，则他预测正确的概率应该大于1/2, 若他没有预测的能力，则他胡乱猜测也有50%猜对的可能，现以X 表示他预测10次预测正确的次数，则

要检验的一对假设为

若拒绝原假设，则可相信该人有预报能力，否则不能相信他有预报能力，由于检验拒绝域形如

故检验的p 值为

对此p 值作一些讨论：

（1）由于检验的p 值大于显著性水平

对具体可算出

故应不拒绝原假设，不能相信他具有预报未来

的值，如

则

可见随着的增加，犯第二类错时拒绝原假设，譬如，若取

股市的涨跌的能力，在不拒绝原假设时可能犯第二类错误，犯第二类错误的概

率

类似可算得误的概率在变小.

（2）我们知道，当p<α时应拒绝原假设，因此，当

因为则拒绝原假设，可相信他有这种能力.

3． 把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率.

2n 个位置上“1”占有n 个位置，【答案】考虑n 个“1”的放法：所以共有放法，于是所求概率为

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种放法，这是分母，

种

而“没有两个1连在一起”，相当于在n 个“0”之间及两头（共n+1个位置）去放“1”，这共有

具体可算得

随着n 的増加，此种事件发生的概率愈来愈小，

最后趋于零.

4． 设为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为

其中

试问

是否服从大数定律？

【答案】因为

由柯西积分判别法知上述级数收敛, 故

5． 设二维随机变量

【答案】

的非零区域与

的交集为图阴影部分, 所以

的联合密度函数为

,

试求

存在, 所以由辛钦大数定律知

服从大数定律.

图

6． 对下列数据构造茎叶图

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【答案】取百位数与十位数组成茎, 个位数为叶, 这组数据的茎叶图如下:

图

7． 经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%.如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？

【答案】记X 为预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则

厅没有座位”相当于“52位顾客中最多1位顾客不来就餐”，所以所求概率为

8． 设

和

分别来自总体

和

的两个独立样本.

试求

因为“顾客来到餐

的最大似然估计.

【答案】合样本的似然函数为

对数似然函数为

将对数似然函数对

分别求导并令其为0, 得

由此得到

的最大似然估计为

二、证明题

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