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一、计算题

1． 甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球.

（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；

（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率.

【答案】记事件A 为“从乙口袋取出的这个球是白球 （1）对甲口袋取出的球是白球或黑球，使用全概率公式可得

（2）对甲口袋取出的两个球分三种情况：两个白球、一黑一白、两个黑球. 使用全概率公式可得

2． 在20世纪70年代后期人们发现，酿啤酒时，在麦芽干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA ），20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥讨程，下面为老、新两种过程中形成的NDMA 含量（以10亿份中的份数计）：

表

设两样本分别来自不同的正态总体，并假定两总体方差相等，两样本独立，分别以老、新过程的总体的均值，

试检验

【答案】以x , y 分别表示老、新两种过程下的观测值，其样本方差，则中

的无偏估计为

在原假设

为两个总体的共同方差，

又

检验拒绝域为

现取

现由样本观测值可算得

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表示分别为

其

分别为其样本均值，成立下有

故在原假设成立

下

查表知，从而拒绝域为

从而检验统计量的值为

由于观测值落入拒绝域，故拒绝原假设，接受备择假设，即老、新方法在NDMA 含量的差大于2.

3． 设某元件是某电气设备的一个关键部件, 当该元件失效后立即换上一个新的元件. 假定该元件的平均寿命为100小时, 标准差为30小时, 试问:应该有多少备件, 才能有0.95以上的概率, 保证这个系统能连续运行2000小时以上？

【答案】记为第i 个元件的寿命, 如下不等式

再由林德伯格-莱维中心极限定理可得

由此查表得

, 从中解得

, 所以取

, 即应有23个此种元件, 可

. 则

, 根据题意可列

有0.95以上的概率保证这个系统能连续运行2000小时以上.

4． 某班级学生中数学成绩不及格的比率X 服从a=l，b=4的贝塔分布，试求

【答案】贝塔分布Be （1，4）的密度函数为

且由

5． 设随机变量X 的密度函数为

试求以下Y 的密度函数：

【答案】（1）因为Y=2X+1的可能取值范围是数，其反函数为

及

. 且

所以Y 的密度函数为

（2

）因为

及

的可能取值范围是

.

且

知

是严格单调增函

是严格单调增函数，

其反函数为

所以Y 的密度函数为

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（3）因为其反函数为

的可能取值范围是

及

且

在

上是严格单调増函数，

所以Y 的密度函数为

这是韦布尔（Weibull ）分布的特例. 一般韦布尔分布（记为

本题结论就是

时的韦布尔分布形（1/2，1）.

）的密度函数为

6． 某城市中共发行3种报纸A ，B ，C ，在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、30%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A ，B ，C 报，求以下事件的概率：

（1）只订阅A 报的； （2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的.

【答案】仍用A ，B ，C 分别表示订阅A ，B ，C 报，则有P （A ）=0.45，P （B ）=0.35，P （C ）=0.30，P （AB ）=0.10，P （AC ）=0.08，P （BC ）=0.05，P （ABC ）=0.03.

（1）P （只订阅A 报）=

其中

所以

P （只订阅一种报纸）=0.30+0.23+0.20=0.73.

（3）P （至少订阅一种报纸）

（4）P （不订阅任何一种报纸）=

7． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

求X 与Y 的相关系数.

【答案】先计算X 与Y 的期望、方差与协方差.

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（2）因为P （只订阅一种报纸）=