当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

【答案】

由题设

于是原命题得证.

2． 设

是无界数列，又因为

无界数列.

3． 设函数

无穷大数列. 证明：

必为无界数列.

时，

有

即

是

有

因此

可知

证明

介于1与之间.

【答案】

因为是无穷大数列，所以对任意大正数M>0, 存在自然数N ，

当是无界数列，

所以总存在

在上连续，在. 内可导，且满足

证明:至少存在一点【答案】令中值定

理知，

使得

使则

在

上连续，

在

内可导. 由题设，利用积分

因此，由罗尔定理可知，故有

4． 试证：

(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和； (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之差. 【答案】(1) 设

则

故

(2)

设

则

故

第 2 页，共 17 页

使得由于

二、解答题

5． 设

求证： (1) (2)

存在；

在(0, 0) 点不连续；

同样因f (0, y ) =0, 得

(3) f (x , y ) 在(0, 0) 点可微. 【答案】(1) 因f (x , 0) =0，所以(2) 容易求出

令y=x,

故

在(0，0) 点不连续. 同理可知

在(0, 0) 点不连续. (3) 由于以

按微分定义，函数在(0, 0) 点可微，且df (0, 0) =(0, 0) 或是可微的充分条件，不是必要条件.

6． 设

【答案】

可见偏导数连续

是有界变量，当

1时，x 是无穷小量，所

第 3 页，共 17 页

7． 求函数

【答案】设

令

解得

依题意，相当于求n 维空间中原点到超平面

的最短距离. 由几何学知，最短距离存在，

在条件

下的最小值.

而稳定点只有一个，故一定在惟一稳定点处取得最小值，故

第 4 页，共 17 页