2018年北京市培养单位数学与系统科学研究院616数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在区间I 上连续, 证明:
（1）若对任何有理数
有f （r ） =0, 则在I 上f （x ） =0;
有. 又因为
则f 在I 上严格增.
使.
当并且）, 和
, 所以
（2）若对任意两个有理数
由f 的连续性得
（2
）设有两个实数由使得当
而当
, 满足可知
,
时,
时
,
【答案】（1）设x 0为中的任一无理数, 由有理数的稠密性知,
存在有理数列
为有理数时, f （r ）也为0, 于是, 在I 上f （x ）=0.
, 由有理数的稠密性知, 存在有理数r 1, r 2使得
,
两点连续.
,
存在
, 从而,
从而
. 再由
故f 在I 上严格递增.
2． 设f 为
使
在,, 则存在
于是假设不存在对 3． 用
方法证明:
, 这与f （x ）在
使
应用达布定理可知, 存在
上不能恒为正, 也不能恒为负. 用反证法, 假设恒有
, 使得（介于
之间）.
,
, 这与假设矛盾, 故原命题得证. 设
. 由泰勒定理得,
【答案】先证
上的二阶可导函数, 若f 在
上有界, 则存在；
.
存在有理数
知,
（设
.
对于正数
因为f （x ）在I 上连续, 所以f （x ）在
,
上有界矛盾. 再用反证法证明原命题.
. 则存在a 、b , 使得
使得
【答案】
则
因此,
存在
当
时, 便有
即
4． （1）变换x+y=u, y=uv把区域雅可比行列式
变为区域. 试求
（2）取y 为因变量, 解方程
【答案】（1）方法一把x , y 写成u , v 的函数x=u （1－v ）, y=uv, 所以
逆变换的雅可比行列式为
方法二 若变换不易解出x , y 或u , v 时, 我们只能用隐函数求偏导数方法来求雅可比行列式, 一般来说所得行列式可以含有变量x , y, u, v. 方程组先对u 求偏导数, 得
解出
再对v 求偏导数, 得
解出
所以
（2）由（1）启发, z=z （x , y ）中把x , y看成自变量, 对x 求偏导数, 得
解出
再对x 求偏导, 得
将
代入上式, 有
利用条件得出
和y 取为因变量以及隐含条件
, 所以
, 由此解出
二、解答题
5． 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积:
（1）（2）（3）（4）【答案】 （1）（2）（3）
.
为心形线方程, 它在极轴之上部分的参数方程式为
于是
（4）由
,
得
, 则
6． 求函数u=xyz在点A （5，1，2）处沿到点B （9，4，14）的方向
【答案】
，其方向余弦为
, , 绕X 轴;
绕x 轴;
, 绕极轴;
, 绕y 轴.
成上的方向导数.
因为