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一、证明题

1． 设f 与g 是定义在

证明:若

【答案】因

为

收敛. 又因

为

法

, 2． 设

【答案】先用数学归纳法可证:

再用数学归纳法证明:

显然

归纳假设

则

从而②式成立. 由①, ②式知.

单调递增有上界, 注意到

3． 证明:若函数f , g在区间[a, b]上可导, 且

【答案】令

于是, F （x ）在[a, b]上严格递增, 故当 4． 证明:

【答案】

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上的函数, 对任何u>a, 它们在[a, u]上都可积.

收敛, 则

与>并

且

和

也都收敛.

都收敛, 所

以

, 根据比较判别

与

也收敛.

证明:

收敛, 并求其极限.

①

②

极限存在, 可设

, 则在

时,

, 即

内有.

则

.

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由于所以上式综上可得

,

二、解答题

5． 把长为1的线段截为两段, 问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?

【答案】设一段长为x , 则另一段长为1－x , 矩形的面积为由

得

, 又因为

, 故

矩形面积最大.

6． 设函数f

（x ）在

计算

方法二当

时, 有

故

7． 设f （x ）在[a

, b]上连续, 且有惟一最小值点x 0. 若

【答案】假设仍记为

, 使

则

在. 显然

中可选取子列

且

, 满足于是

由于这个子列有界, 由致密性定理, 可从它中再选取一个收敛子列,

.

于是,

,

是

f （

x ）

的极大值点.

因此当两段长度均为

时,

内满足且,

【答案】方法一

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,

这与最小值点的惟一性矛盾.

8． 求一曲线y=f（x ）, 使得在曲线上每一点（x , y ）处的切线斜率为2x , 且通过点（2, 5）.

【答案】由题意, 有

, 即

又由于

y=f（x ）过点（2

, 5）, 即5=4+C, 故C=l.因而所求的曲线为 9． 设

求

则有

所以

Abel

不等式

10

．求两椭圆

与

所围公共部分的面积.

解得两曲线在第一象限内的交点坐标为

,

【答案】如图所示, 这两个椭圆是全等的, 故所求面积是阴影部分面积的8倍. 由方程组 于是, 所围公共部分的面积为

【答案】

设

.

图

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