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一、证明题

1． 证明:

（1）grad （u+c）=gradu（c 为常数）； （2）

（3）（4）【答案】设（1）（2）

（3〕

（4）

2． 证明:（1）

【答案】（1）当

时,

（2）

. 当

时, 令|

则

可知（2）当

时

上可导, 且

, 则. 则

于是, 当

故

时

当

时,

而

则

（

为常数）

故由迫敛性知

3． 证明:（1）若函数f 在

（3）对任意实数在一点,

使得

（2）若函数f （x ）在[a, b]上可导, 且

都有

【答案】（1）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以在（a , b ）内至少存

, 又因为

于是

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, 因此

（2）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以在（a , b ）内至少存在一点 使得（3）当

, 又因为

时, 结论成立. 当

时, 设

, 于是

令

由（2）的结论知,

4． 证明:当

【答案】因为

所以

时

. 则

. 因此

二、解答题

5． 试证函数系cosnx （n=0, 1, 2, …）和sinnx （n=l, 2, …）都是合起来的不是

上的正交函数系.

【答案】对于函数系cosnx ; （n=0, 1, 2, …）, 因为

上的正交函数系, 但它们

又n=0时, cosnx=l

,

时,

所以, 在三角系cosnx （n=0, 1, 2, …）中, 任何两个不相同的函数的乘积在等于零, 而任何一个函数的平方在

上的正交函数系.

对于sinnx （n=l, 2, …）, 因为m ≠n 知时,

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上的积分都

上的积分均不为零, 所以函数系cosnx （n=0, 1, 2,

…）为

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所以函数系

sinnx （n=l, 2,

…）也是

上的正交函数系.

所以该函数系不是

对于函数系1, cosx , sinx , cos2x , sin2x ,

…, cosnx ,

sinnx , …,

因为上的正交函数式

. 6．

arctan

.

试求

【答案】原式 7． 设

【答案】对方程组

关于x 求导得

解之得

8． 下列级数哪些是绝对收敛, 条件收敛或发散的:

（1）（2）（

3）（4）（5）（6）（

7）（8）

而

收敛, 所以原级数绝对收敛.

【答案】（1）因为（2）因为

（3）根据p 的取值范围讨论. 设

时, 因

由级数收敛的必要条件知原级数发散.

不存在, 故原级数发散.

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