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一、证明题

1． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, 证明:

【答案】方法一用积分中值定理. 因为

而

所以

方法二用分部积分法. 因为

而

所以

故

2． 设

和

为正项级数，且存在正数收敛，则级数

时

，

对一切

证明:若级数【答案】由题意

也收敛；若，从而

又因为改变有限项不改变级数的敛散性，所以由比较原则，

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,

，有

发散，则

也发散.

若级数

3． 证明:曲面

收敛，则级数也收敛；若发散，则发散.

上任意一点的切平面都与某一定直线平行, 其中函数F 连续

可微, 常数a , b , c 不同时为零.

【答案】记

则

于是曲面

n 与某直线方向向量或

于是当l 1, l 2, l 3 满足 4． 设

【答案】

故

在x=0连续. 由

, 可知g 在x=0不连续.

, 证明:复合函数

在x=0连续, 但g 在x=0不连续.

时恒有

取1=（b , c , a ）,

上任一点的法向量为

垂直当且仅当

即

则曲面 F （ax —bz , ay—cz ）=0 上任一点的切平面与l 平行.

二、解答题

5． 设f （x , y ）为连续函数, 试就如下曲线:

（1）L :连接 A （a , a ）, C （b , a ）的直线段;

（2）L :连接A （a , a ）, C （b , a ）, B （b , b ）三点的三角形（逆时针方向）, 计算下列曲线积分:

【答案】曲线如图所示,

图

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（1）直线段L （AC ）的方程y=a, 所以

（2）

6． 计算积分

【答案】内层积分积不出来, 不妨换一求积次序. 为此由所给积分限画出积分区域D 的图形（见图）:

图

于是

7． 设f （X ）, g （x

）在

求证:

【答案】方法一在

.

上任取一个序列

, 使得

, 由题设则有

上定义, 且

’

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