2018年东北石油大学数学与统计学院705数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 若级数
证明级数【答案】
由
收敛,
由比较原则得正项级数如如果取
2． 若
收敛, 从而满足不等式且
为发散的正项级数, 则必有是[a, b]上的连续函数列, 且
, 使在任意闭区间
与发散.
, 数列
都有界.
上都非一致有界, 即
因为函数的保号性,
又因为使
由
且
在
在[a, b]上非一致有界, 所以对k=1,
, 使得
上非一致有界, 所以对由连续函数的保号性
,
.
, 满足
且
,
无界, 则数列
3． 设
【答案】因知
收敛.
且
, 有
其中
,
使
无界. 这与已知条件矛盾.
有界，证明
收敛.
从而
又
收敛，由比较原则
,
即数列
的某一个子列
由闭区间套定理
,
, 有
且且
. , 使
得
使
.
,
有. 由连续
收敛. 若
,
都发散. 收敛.
未必发散.
均发散, 但
与
都收敛, 且成立不等式
也收敛. 若
可得
,
都发散, 试问
一定发散吗？
与
. 都收敛, 故正项级数
又级数
试证明:
存在闭区间【答案】用反证法. 假设使
在[c, d]上一致有界.
如此下去, 可得一个闭区间列
有界，故存在M>0, 使
4．
老
推得进而
收敛吗？ 【答案】
由
收敛. 若仅知道则
5． 用定义证明:
且级数
可得
收敛, 未必有
绝对收敛, 证明级数也收敛.
若上述条件中只知道
绝对收敛,
故级数
收敛, 能丨收敛,
又因为级数
收敛. 如
且
的精确数学定义.
和
时, 有
具体到本题, 由于
所以
, 取
, 当
. 和
时, 有
即
6． 设
在点
存在,
在点
在点
连续, 证明f （x , y ）在点
其中
. 于是有
连续, 所以
当
故f （x , y ）在点
可微.
可微.
,
收敛,
但
发散.
【答案】先写出当
【答案】因为存在, 由一元函数的可微性知
令
时有
, 从而
. 因为fy （x , y ）在
点
, 即
二、解答题
7． 设
存在连续的导函数, 有
试求:
【答案】作球坐标变换
则
于是有
8． 求
之和.
【答案】用S n 表示级数的前n 项部分和, 则
故
9． 设
试讨论它在（0, 0）点处的连续性. 【答案】设
则
所以
当
, 即
时
,
因此
故
在点（0, 0）处连续.
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