2017年江西农业大学农学院701数学之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与-X 有相同的特征函数,
从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.
再证必要性, 若
, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数,
故
是实的偶函数.
由于-X 的特征函数为所以
2． 设为独立随机变量序列, 且
证明:
服从大数定律.
相互独立, 且
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
3． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：
（1）（2）
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
先证充分性. 若是实的偶函数, 则又因
所以得, 即
【答案】因为
所以
4． 设
证明:
为独立随机变量序列, 且
服从大数定律.
相互独立, 且服从大数定律.
是来自该总体的一个样本，
其中为的任一凸
由此可得马尔可夫条件
【答案】因为由马尔可夫大数定律知
5． 设总体X 的均值为方差为
线性无偏估计量. 证明：与T 的相关系数为
【答案】由于于是
为的线性无偏估计量，故
而
故有
从而
6． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.
【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有
所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得
P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.
7． 设是来自均匀分布的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函数为
其中
（2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须
与
的联合分布为
所以的后验分布为
要使
与
是两个己知的常数.
（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布；
这是一个参数为
与
的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.
（2）若选用后验期望估计，则
8． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：
其中
平方和之间的关系；
（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：
所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为
在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出
然后再据此给出
总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为
（2）由（1）的结果我们知道数据得到的F 检验统计量的值保持不变.
即说明了由原始数据和变换后
它们的关系为
是适当选取的常数.
（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差