2017年江西农业大学农学院701数学之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
为自由度为n 的t 变量, 试证:
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
, 再按依概率收敛性知
这就证明了
2． 设
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）. 是来自两参数指数分布
的样本, 证明（
）是充分统计量.
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
, 由因子分解定理,
是
的充分统计量•
3． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数, 故
从而
所以X 与Y 不相关.
4 设T 是g ，．（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若
【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE ，即
即
且
的无偏估计，故其差
5． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算
【答案】
由此得
由判断准则知
，则这说明
是0的无偏估计，
利用此结果计
6． （伯恩斯坦大数定律）设
证明:
【答案】
记
所以
由的任意性知
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
7． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有
（1）（2）（3）
是方差一致有界的随机变量序列, 且当
任
对
存在M>0,
当
时,
一致地有
时,
有
服从大数定律.
， 【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）
且从（1）在
则
所以
（2）
（3）
8． 记
证明
【答案】
由
得
9． 设
证明:
为独立随机变量序列, 且
服从大数定律.
相互独立, 且
故可得马尔可夫条件
【答案】因
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